Question

7．（1）如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF=45°，試判斷BE、DF與EF三條線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫(xiě)出判斷結(jié)果：EF=BE+DF．
（2）如圖2：在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．點(diǎn)E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF=60°，探究圖中線(xiàn)段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系．
小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)C，使DG=BE，連結(jié)AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是EF=BE+DF．
請(qǐng)你幫小王同學(xué)寫(xiě)出完整的證明過(guò)程．

Answer 1

分析 （1）如圖（1）中，把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADE′，只要證明△AFE≌△AFE′即可解決問(wèn)題．
（2）如圖（2）中，將△ABE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△ADG位置連接GF．只要證明△FAE≌△FAG得EF=FG，理由等量代換和圖形中相關(guān)線(xiàn)段的和差關(guān)系證得EF=BE+DF．

解答 解：（1）結(jié)論：EF=BE+DF．理由如下：
如圖（1）中，在正方形ABCD中，∵AB=AD，∠BAD=∠ADC=∠B=90°，
把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADE′，
∵∠ADF=∠ADE′=90°，
∴點(diǎn)F、D、E′共線(xiàn)，
∴∠E′AF=90°-45°=45°=∠EAF，
在△AFE和△AFE′中，$\left\{\begin{array}{l}{AF=AF}\\{∠FAE=∠FAE′}\\{AE=AE′}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△AFE′（SAS），
∴EF=FE′=DE′+DF=BE+DF．

（2）結(jié)論：EF=BE+DF成立．理由如下：
如圖（2）中，因?yàn)锳B=AD，所以可以將△ABE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△ADG位置，
∵∠B+∠ADF=180°，∠B=∠GDA，
∴∠GDA+∠ADF=180°，
∴G、D、F共線(xiàn)，
∵∠BAE+∠DAF=∠EAF=60°，∠GAD=∠BAE，
∴∠GAF=∠EAF，
在△FAE和△FAE′中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AF}\\{∠FAE=∠FAG}\\{AE=AG}\end{array}\right.$，
∴△FAE≌△FAG（SAS），
EF=FG=DG+DF=BE+DF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了四邊形綜合題．其中涉及到了全等三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用旋轉(zhuǎn)添加輔助線(xiàn)，這個(gè)全等三角形，屬于中考�？碱}型．