Question

4．已知拋物線y₁=（x+2）²-4與拋物線y₂=-（x+2）²+4在同一坐標(biāo)系中的圖象如圖所示．直線y=k（k＞0）與兩條拋物線分別交于點(diǎn)A、B、C、D．有以下結(jié)論：
①當(dāng)-4＜x＜0時(shí)，y₁＜y₂；
②當(dāng)y₁=y₂時(shí)，x=-4；
③若線段AC、AB、BD滿足AC+BD=AB，則k=$\frac{12}{5}$；
④若直線y=k與兩條拋物線有3個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則k=4；
以上結(jié)論正確的序號(hào)是①③④．

Answer 1

分析 ①正確．根據(jù)圖象即可判定．
②錯(cuò)誤．當(dāng)y₁=y₂時(shí)，由圖象可知，x=-4或0．
③正確．設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），A（x₃，y₃）B（x₄，y₄），由AC+BD=AB，根據(jù)對(duì)稱性可知，AC=BD，推出CD=2AB，推出|x₁-x₂|=2|x₃-x₄），想辦法列出方程解決問(wèn)題即可．
④正確．觀察圖象即可解決問(wèn)題．

解答 解：①正確．∵拋物線y₁=（x+2）²-4與拋物線y₂=-（x+2）²+4的交點(diǎn)為（0，0），（-4，0），
由圖象可知，當(dāng)-4＜x＜0時(shí)，y₁＜y₂；
②錯(cuò)誤．當(dāng)y₁=y₂時(shí)，由圖象可知，x=-4或0．
③正確．設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），A（x₃，y₃）B（x₄，y₄），
∵AC+BD=AB，根據(jù)對(duì)稱性可知，AC=BD，
∴CD=2AB，
∴|x₁-x₂|=2|x₃-x₄）
由$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}+4x}\\{y=k}\end{array}\right.$消去y得到，x²+4x-k=0，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=16+4k，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}-4x}\\{y=k}\end{array}\right.$消去y得到x²+4x+k=0，
∴（x₃-x₄）²=16-4k，
∴16+4k=4（16-4k），
∴k=$\frac{12}{5}$．
④正確．∵直線y=k（k＞0）兩條拋物線有3個(gè)交點(diǎn)時(shí)，
∴直線經(jīng)過(guò)拋物線y₂的頂點(diǎn)，
∵y₂的頂點(diǎn)坐標(biāo)（-2，4），
∴k=4．
故答案為①③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)與系數(shù)關(guān)系、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用圖象解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題，屬于中考填空題中的壓軸題．