Question

12．如圖所示，在△ACB中，∠ACB=90°，CA=CB，D為AB邊上一點(diǎn)，連結(jié)CD，CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度與線段CE重合，連結(jié)AE．
（1）填空：∠B=45度；∠BCD=∠ACE（在圖中找出一個(gè)與∠BCD相等的角）．
（2）求證：△BCD≌△ACE．
（3）當(dāng)AB=2CE時(shí)，求證：CD垂直平分AB．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠B的度數(shù)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠BCD=∠ACE即可；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和SAS證明三角形全等即可；
（3）根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)以及等腰直角三角形的判定解答即可．

解答 解：（1）∵在△ACB中，∠ACB=90°，CA=CB，
∴∠B=45°；
∵CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度與線段CE重合，
∴∠DCE=90°，
即∠BCD+∠DCA=∠DCA+∠ACE，
∴∠BCD=∠ACE；
故答案為：45；ACE；
（2）∵CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度與線段CE重合，
∴CD=CE，
又由（1）可知，∠BCD=∠ACE，
∵CA=CB，
在△BCD與△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCD=∠ECA}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△ACE；
（3）∵∠ACB=90°，CA=CB，
∴∠CAB=∠B=45°，
∵△BCD≌△ACE，
∴∠CAE=∠B=45°，
∴∠DAE=∠CAE+∠CAB=90°，
設(shè)AD=a，CE=b，則AB=2CE=2b，DC=CE=b，
∴△ECD為等腰直角三角形
又△ADE為直角三角形
∴DE²=CD²+CE²=2b²，AE²=DE²-AD²=2b²-a²
又∵△BCD≌△ACE，
∴AE=BD=AB-AD=2b-a，
∴2b²-a²=（2b-a）²
  化簡(jiǎn)得：a²-2ab+b²=0
∴（a-b）²=0
∴a=b，
∴BD=2b-a=a=AD，
∴D為AB中點(diǎn)，
又∵△ABC為等腰直角三角形．
∴CD垂直平分AB．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)，證明△ACE≌△BCD是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．