Question

2．如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點E是射線CB上的動點，點F是射線CD上一點，且AF⊥AE，射線EF與對角線BD交于點G，與射線AD交于點M；
（1）當(dāng)點E在線段BC上時，求證：△AEF∽△ABD；
（2）在（1）的條件下，聯(lián)結(jié)AG，設(shè)BE=x，tan∠MAG=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；
（3）當(dāng)△AGM與△ADF相似時，求BE的長．

Answer 1

分析 （1）首先證明△ABE∽△ADF，推出$\frac{AB}{AD}$=$\frac{AE}{AF}$，推出$\frac{AB}{AE}$=$\frac{AD}{AF}$，因為∠BAD=∠EAF，即可證明△AEF∽△ABD．
（2）如圖連接AG．由△AEF∽△ABD，推出∠ABG=∠AEG，推出A、B、E、G四點共圓，推出∠ABE+∠AGE=180°，由∠ABE=90°，推出∠AGE=90°，推出∠AGM=∠MDF，推出∠AMG=∠FMD，推出∠MAG=∠EFC，推出y=tan∠MAG=tan∠EFC=$\frac{EC}{CF}$，由△ABE∽△ADF，得$\frac{AB}{AD}$=$\frac{BE}{DF}$，得DF=$\frac{4}{3}$x，由此即可解決問題．
（3）分兩種情形①如圖2中，當(dāng)點E在線段CB上時，②如圖3中，當(dāng)點E在CB的延長線上時，分別列出方程求解即可．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ADC=∠ADF=90°，
∵AF⊥AE，
∴∠EAF=90°，
∴∠BAD=∠EAF，
∴∠BAE=∠DAF，∵∠ABE=∠ADF=90°，
∴△ABE∽△ADF，
∴$\frac{AB}{AD}$=$\frac{AE}{AF}$，
∴$\frac{AB}{AE}$=$\frac{AD}{AF}$，∵∠BAD=∠EAF，
∴△AEF∽△ABD．

（2）解：如圖連接AG．

∵△AEF∽△ABD，
∴∠ABG=∠AEG，
∴A、B、E、G四點共圓，
∴∠ABE+∠AGE=180°，
∵∠ABE=90°，
∴∠AGE=90°，
∴∠AGM=∠MDF，
∴∠AMG=∠FMD，
∴∠MAG=∠EFC，
∴y=tan∠MAG=tan∠EFC=$\frac{EC}{CF}$，
∵△ABE∽△ADF，
∴$\frac{AB}{AD}$=$\frac{BE}{DF}$，
∴DF=$\frac{4}{3}$x，
∴y=$\frac{4-x}{3+\frac{4}{3}x}$，
即y=$\frac{12-3x}{9+4x}$（0≤x≤4）．

（3）解：①如圖2中，當(dāng)點E在線段CB上時，

∵△AGM∽ADF，
∴tan∠MAG=$\frac{GM}{AG}$=$\frac{DF}{AD}$，
∴$\frac{12-3x}{9+4x}$=$\frac{\frac{4}{3}x}{4}$，
解得x=$\frac{3}{2}$．

②如圖3中，當(dāng)點E在CB的延長線上時，

由△MAG∽△AFD∽△EFC，
∴$\frac{AD}{EC}$=$\frac{DF}{FC}$，
∴$\frac{4}{x+4}$=$\frac{\frac{4}{3}x}{3-\frac{4}{3}x}$，
解得x=1，
∴BE的長為$\frac{3}{2}$或1．

點評 本題考查相似形綜合題、相似三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、四點共圓等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考壓軸題．