Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-

4 3

3

），交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C（0，-

3

）．
（1）求拋物線的表達(dá)式．
（2）把△ABC繞AB的中點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180°，得到四邊形ADBC．判斷四邊形ADBC的形狀，并說(shuō)明理由．
（3）試問(wèn)在線段AC上是否存在一點(diǎn)F，使得△FBD的周長(zhǎng)最��？若存在，請(qǐng)寫(xiě)出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）由題意知

- b 2a =1 4ac-b2 4a =- 4 3 3 c=- 3

，
解得：a=

3

3

，b=-

2 3

3

，
∴拋物線的解析式為y=

3

3

x²-

2 3

3

x-

3

；

（2）設(shè)點(diǎn)A（x₁，0），B（x₂，0），則y=

3

3

x²-

2 3

3

x-

3

=0，
解得：x₁=-1，x₂=3，
∴|OA|=1，|OB|=3．又∵tan∠OCB=

OB

OC

=

3

∴∠OCB=60°，同理可求∠OCA=30°．
∴∠ACB=90°，
由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知AC=BD，BC=AD，
∴四邊形ADBC是平行四邊形
又∵∠ACB=90°．
∴四邊形ADBC是矩形；

（3）答：存在，
延長(zhǎng)BC至N，使CN=CB．
假設(shè)存在一點(diǎn)F，使△FBD的周長(zhǎng)最小．
即FD+FB+DB最�。�
∵DB固定長(zhǎng)．∴只要FD+FB最�。�
又∵CA⊥BN
∴FD+FB=FD+FN．∴當(dāng)N、F、D在一條直線上時(shí)，F(xiàn)D+FB最�。�
又∵C為BN的中點(diǎn)，
∴FC=

1

2

AC（即F為AC的中點(diǎn)）．
又∵A（-1，0），C（0，-

3

）
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為F（-

1

2

，-

3

2

）
答：存在這樣的點(diǎn)F（-

1

2

，-

3

2

），使得△FBD的周長(zhǎng)最�。�