Question

20．某企業(yè)有員工300人，生產(chǎn)A種產(chǎn)品，平均每人每年可創(chuàng)造利潤m萬元（m為大于零的常數(shù)）．為減員增效，決定從中調(diào)配x人去生產(chǎn)新開發(fā)的B種產(chǎn)品．根據(jù)評估，調(diào)配后，繼續(xù)生產(chǎn)A種產(chǎn)品的員工平均每人每年創(chuàng)造的利潤可增加20%，生產(chǎn)B種產(chǎn)品的員工平均每人每年可創(chuàng)造利潤1.54m萬元．
（1）調(diào)配后，企業(yè)生產(chǎn)A種產(chǎn)品的年利潤為1.2（300-x）m 萬元，企業(yè)生產(chǎn)B種產(chǎn)品的年利潤為1.54mx 萬元（用含x和m的代數(shù)式表示）．若設調(diào)配后企業(yè)全年總利潤為y萬元，則y關于x的函數(shù)解析式為y=360m+0.34mx．
（2）若要求調(diào)配后，企業(yè)生產(chǎn)A種產(chǎn)品的年利潤不小于調(diào)配前企業(yè)年利潤的$\frac{4}{5}$，生產(chǎn)B種產(chǎn)品的年利潤大于調(diào)配前企業(yè)年利潤的$\frac{1}{2}$，應有哪幾種調(diào)配方案？請設計出來，并指出其中哪種方案全年總利潤最大（必要時，運算過程可保留3個有效數(shù)字）．

Answer 1

分析 （1）調(diào)配后企業(yè)生產(chǎn)A種產(chǎn)品的年利潤=生產(chǎn)A種產(chǎn)品的人數(shù)×原來平均每人每年可創(chuàng)造利潤×（1+20%）；生產(chǎn)B種產(chǎn)品的年利潤=生產(chǎn)B種產(chǎn)品的人數(shù)×1.54m；總利潤=調(diào)配后企業(yè)生產(chǎn)A種產(chǎn)品的年利潤+生產(chǎn)B種產(chǎn)品的年利潤，把相關數(shù)值代入即可；
（2）關系式為：調(diào)配后企業(yè)生產(chǎn)A種產(chǎn)品的年利潤≥調(diào)配前企業(yè)年利潤的五分之四，生產(chǎn)B種產(chǎn)品的年利潤＞調(diào)配前企業(yè)年利潤的一半，把相關數(shù)值代入求得x的取值范圍，根據(jù)x的實際意義確定其具體值，從而得出調(diào)配方案；再根據(jù)（1）中y與x的關系式，運用一次函數(shù)的性質(zhì)，可求得利潤最大的調(diào)配方案．

解答 解：（1）生產(chǎn)A種產(chǎn)品的人數(shù)為300-x，平均每人每年創(chuàng)造的利潤為m×（1+20%）萬元，所以調(diào)配后企業(yè)生產(chǎn)A種產(chǎn)品的年利潤為1.2（300-x）m萬元；
生產(chǎn)B種產(chǎn)品的人數(shù)為x，平均每人每年創(chuàng)造的利潤為1.54m，所以生產(chǎn)B種產(chǎn)品的年利潤為1.54mx萬元；
調(diào)配后企業(yè)全年的總利潤y=1.2（300-x）m+1.54mx=360m+0.34mx．
故答案為：1.2（300-x）m；1.54mx；y=360m+0.34mx；

（2）$\left\{\begin{array}{l}{1.2（300-x）m≥\frac{4}{5}×300m}\\{1.54xm＞\frac{1}{2}×300m}\end{array}\right.$，
解得：97 $\frac{31}{77}$＜x≤100，
∵x為正整數(shù)，
∴x可取98，99，100．
∴共有三種調(diào)配方案：
①202人生產(chǎn)A種產(chǎn)品，98人生產(chǎn)B種產(chǎn)品；
②201人生產(chǎn)A種產(chǎn)品，99人生產(chǎn)B種產(chǎn)品；
③200人生產(chǎn)A種產(chǎn)品，100人生產(chǎn)B種產(chǎn)品；
∵y=0.34mx+360m，
∴x越大，利潤y越大，
∴當x取最大值100，即200人生產(chǎn)A種產(chǎn)品，100人生產(chǎn)B種產(chǎn)品時總利潤最大．

點評 本題考查一元一次不等式組的應用，一次函數(shù)的性質(zhì)及方案選擇問題，根據(jù)關鍵語句得到相應的關系式是解決問題的關鍵．