Question

17．平面直角坐標(biāo)系xOy中，對稱軸平行于y軸的拋物線過點(diǎn)A（1，0）、B（3，0）和C（4，6）；
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）現(xiàn)將此拋物線先沿x軸方向向右平移6個(gè)單位，再沿y軸方向平移k個(gè)單位，若所得拋物線與x軸交于點(diǎn)D、E（點(diǎn)D在點(diǎn)E的左邊），且使△ACD∽△AEC（頂點(diǎn)A、C、D依次對應(yīng)頂點(diǎn)A、E、C），試求k的值，并注明方向．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法直接求出拋物線的解析式；
（2）設(shè)出D，E坐標(biāo)，根據(jù)平移，用k表示出平移后的拋物線解析式，利用坐標(biāo)軸上點(diǎn)的特點(diǎn)得出m+n=16，mn=63-$\frac{k}{2}$，進(jìn)而利用相似三角形得出比例式建立方程即可求出k

解答 解：（1）∵拋物線過點(diǎn)A（1，0）、B（3，0），
∴設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-1）（x-3），
∵C（4，6），
∴6=a（4-1）（4-3），
∴a=2，
∴拋物線的解析式為y=2（x-1）（x-3）=2x²-8x+6；
（2）如圖，設(shè)點(diǎn)D（m，0），E（n，0），
∵A（1，0），
∴AD=m-1，AE=n-1
由（1）知，拋物線的解析式為y=2x²-8x+6=2（x-2）²-2；
∴將此拋物線先沿x軸方向向右平移6個(gè)單位，得到拋物線的解析式為y=2（x-8）²-2；
∴再沿y軸方向平移k個(gè)單位，得到的拋物線的解析式為y=2（x-8）²-2-k；
令y=0，則2（x-8）²-2-k=0，
∴2x²-32x+126-k=0，
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，
∴m+n=16，mn=63-$\frac{k}{2}$，
∵A（1，0），C（4，6），
∴AC²=（4-1）2+6²=45，
∵△ACD∽△AEC，
∴$\frac{AC}{AE}=\frac{AD}{AC}$，
∴AC²=AD•AE，
∴45=（m-1）（n-1）=mn-（m+n）+1，
∴45=63-$\frac{k}{2}$-16+1，
∴k=6，
即：k=6，向下平移6個(gè)單位．

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，平移的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，根與系數(shù)的關(guān)系，解本題的關(guān)鍵是設(shè)出了點(diǎn)D，E的坐標(biāo)，借助韋達(dá)定理直接求出k．