Question

2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙C的半徑為r（r＞1），P是圓內(nèi)與圓心C不重合的點(diǎn)，⊙C的“完美點(diǎn)”的定義如下：若直線CP與⊙C交于點(diǎn)A，B，滿足|PA-PB|=2，則稱點(diǎn)P為⊙C的“完美點(diǎn)”，如圖為⊙C及其“完美點(diǎn)”P的示意圖．
（1）當(dāng)⊙O的半徑為2時(shí)，
①在點(diǎn)M（$\frac{3}{2}$，0），N（0，1），T（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$）中，⊙O的“完美點(diǎn)”是N，T；
②若⊙O的“完美點(diǎn)”P在直線y=$\sqrt{3}$x上，求PO的長及點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）⊙C的圓心在直線y=$\sqrt{3}$x+1上，半徑為2，若y軸上存在⊙C的“完美點(diǎn)”，求圓心C的縱坐標(biāo)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）①利用圓的“完美點(diǎn)”的定義直接判斷即可得出結(jié)論；
②先確定出滿足圓的“完美點(diǎn)”的OP的長度，然后分情況討論計(jì)算即可得出結(jié)論；
（2）先判斷出圓的“完美點(diǎn)”的軌跡，然后確定出取極值時(shí)⊙C與y軸的位置關(guān)系即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）①∵點(diǎn)M（$\frac{3}{2}$，0），
∴設(shè)⊙O與x軸的交點(diǎn)為A，B，
∵⊙O的半徑為2，
∴取A（-2，0），B（2，0），
∴|MA-MB|=|（$\frac{3}{2}$+2）-（$\frac{3}{2}$-2）|=4≠2，
∴點(diǎn)M不是⊙O的“完美點(diǎn)”，
同理：點(diǎn)N，T是⊙O的“完美點(diǎn)”．
故答案為N，T；
②如圖1，根據(jù)題意，|PA-PB|=2，
∴|OP+2-（2-OP）|=2，
∴OP=1．
若點(diǎn)P在第一象限內(nèi)，作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，
∵點(diǎn)P在直線$y=\sqrt{3}x$上，OP=1，
∴OQ=$\frac{1}{2}$，PQ=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
∴P（$\frac{1}{2}$，$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$）．
若點(diǎn)P在第三象限內(nèi)，根據(jù)對稱性可知其坐標(biāo)為（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$）．
綜上所述，PO的長為1，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$）或（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$）．
（2）對于⊙C的任意一個(gè)“完美點(diǎn)”P都有|PA-PB|=2，
∴|CP+2-（2-CP）|=2．
∴CP=1．
∴對于任意的點(diǎn)P，滿足CP=1，都有|CP+2-（2-CP）|=2，
∴|PA-PB|=2，故此時(shí)點(diǎn)P為⊙C的“完美點(diǎn)”．
因此，⊙C的“完美點(diǎn)”是以點(diǎn)C為圓心，1為半徑的圓．
設(shè)直線$y=\sqrt{3}x+1$與y軸交于點(diǎn)D，如圖2，
當(dāng)⊙C移動(dòng)到與y軸相切且切點(diǎn)在點(diǎn)D的下方時(shí)，t的值最�。�
設(shè)切點(diǎn)為E，連接CE，
∵⊙C的圓心在直線y=$\sqrt{3}$x+1上，
∴此直線和y軸，x軸的交點(diǎn)D（0，1），F(xiàn)（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），
∴OF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，OD=1，
∵CE∥OF，
∴△DOF∽△DEC，
∴$\frac{OD}{DE}=\frac{OF}{CE}$，
∴$\frac{1}{DE}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{2}$，
∴DE=2$\sqrt{3}$．
∴OE=2$\sqrt{3}$-1，
t的最小值為1-2$\sqrt{3}$．
當(dāng)⊙C移動(dòng)到與y軸相切且切點(diǎn)在點(diǎn)D的上方時(shí)，t的值最大．
同理可得t的最大值為1+2$\sqrt{3}$．
綜上所述，t的取值范圍為1-2$\sqrt{3}$≤t≤1+2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題是圓的綜合題，主要考查了新定義，相似三角形的性質(zhì)和判定，直線和圓的位置關(guān)系，解本題的關(guān)鍵是理解新定義的基礎(chǔ)上，會(huì)用新定義，是一道比中等難度的中考�？碱}．