Question

7．如圖，拋物線y=ax²+$\frac{9}{4}$經(jīng)過(guò)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)A坐標(biāo)為（-1，2），點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸的正半軸上．
（1）求該拋物線的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式；
（2）點(diǎn)F為線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)F作FE⊥x軸，F(xiàn)G⊥y軸，垂足分別為E、G，當(dāng)四邊形OEFG為正方形時(shí)，求出F點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用待定系數(shù)法，就可求出拋物線的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式；
（2）①當(dāng)點(diǎn)F在第一象限時(shí)，如圖1，可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，直線AC的解析式，設(shè)正方形OEFG的邊長(zhǎng)為p，則F（p，p），代入直線AC的解析式，就可求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；
②當(dāng)點(diǎn)F在第二象限時(shí)，同理可求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，此時(shí)點(diǎn)F不在線段AC上，故舍去；

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+$\frac{9}{4}$經(jīng)過(guò)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)A坐標(biāo)為（-1，2），
∴2=a+$\frac{9}{4}$，
∴a=-$\frac{1}{4}$，
∴拋物線的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式為y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{9}{4}$；
（2）①當(dāng)點(diǎn)F在第一象限時(shí)，如圖1，
令y=0得，-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{9}{4}$=0，
解得：x₁=3，x₂=-3，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0）．
設(shè)直線AC的解析式為y=mx+n，
則有$\left\{\begin{array}{l}{-m+n=2}\\{3m+n=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{1}{2}}\\{n=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$．
設(shè)正方形OEFG的邊長(zhǎng)為p，則F（p，p）．
∵點(diǎn)F（p，p）在直線y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$上，
∴-$\frac{1}{2}$p+$\frac{3}{2}$=p，
解得p=1，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，1）．
②當(dāng)點(diǎn)F在第二象限時(shí)，
同理可得：點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-3，3），
此時(shí)點(diǎn)F不在線段AC上，故舍去．
綜上所述：點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，1）；

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求拋物線及直線的解析式、直線及拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、拋物線的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，運(yùn)用分類討論的思想是解決第（2）小題的關(guān)鍵，在解決問(wèn)題的過(guò)程中要驗(yàn)證是否符合題意．