Question

7．如圖，邊長為$\sqrt{3}$的正方形ABCD繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°后得到正方形EFCG，EF交AD于點(diǎn)H，那么AH的長是$\sqrt{3}$-1．

Answer 1

分析 連接CH，如圖，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠DCG=30°，∠CFH=∠B=90°，CF=CD=$\sqrt{3}$，再根據(jù)“HL”證明△CHF≌△CHD，則∠HCF=∠HCD=30°，然后利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系求出DH即可得到AH的長．

解答 解：連接CH，如圖，
∵邊長為$\sqrt{3}$的正方形ABCD繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°后得到正方形EFCG，
∴∠DCG=30°，∠CFH=∠B=90°，CF=CD=$\sqrt{3}$，
在Rt△CHF和Rt△CHD
$\left\{\begin{array}{l}{CH=CH}\\{CF=CD}\end{array}\right.$，
∴△CHF≌△CHD，
∴∠HCF=∠HCD=30°，
在Rt△CDH中，∵∠DCH=30°，
∴DH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$CD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×$\sqrt{3}$=1，
∴AH=$\sqrt{3}$-1．
故答案為$\sqrt{3}$-1．

點(diǎn)評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了正方形的性質(zhì)．