Question

【題目】在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)P為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)過(guò)點(diǎn)P分別作PE∥AC交AB于點(diǎn)E，PF∥AB交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)F．

（1）觀察猜想

如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P、D重合，試猜想PD，PE，PF與AB的數(shù)量關(guān)系：　 　．

（2）類比探究

如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在△ABC內(nèi)時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作MN∥BC交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N，試寫出PD，PE，PF與AB的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．

（3）解決問(wèn)題

如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在△ABC外時(shí)，若AB＝6，PD＝1，請(qǐng)直接寫出平行四邊形PEAF的周長(zhǎng)　 　．

Answer 1

【答案】（1）PD+PE+PF＝AB；（2）PD+PE+PF＝AB，見(jiàn)解析；（3）14

【解析】

（1）由PE∥AC，PF∥AB可判斷四邊形AEPF為平行四邊形，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠1＝∠C，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得PF＝AE，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠B＝∠C，則∠B＝∠1，則可根據(jù)等腰三角形的判定得PE＝BE，所以PE+PF＝AB；

（2）因?yàn)樗倪呅?/span>PEAF為平行四邊形，所以PE＝AF，又三角形FDC為等腰三角形，所以FD＝PF+PD＝FC，即PE+PD+PF＝AC＝AB；

（3）過(guò)點(diǎn)P作MN∥BC分別交AB、AC于M、N兩點(diǎn)，推出PE+PF＝AM，再推出MB＝PD即可得到結(jié)論．

解：（1）答：PD+PE+PF＝AB．

證明如下：∵點(diǎn)P在BC上，

∴PD＝0，

∵PE∥AC，PF∥AB，

∴四邊形PFAE是平行四邊形，

∴PF＝AE，

∵PE∥AC，

∴∠BPE＝∠C，

∴∠B＝∠BPE，

∴PE＝BE，

∴PE+PF＝BE+AE＝AB，

∵PD＝0，

∴PD+PE+PF＝AB，

故答案為：PD+PE+PF＝AB；

（2）如圖2，結(jié)論成立：PD+PE+PF＝AB．

證明：過(guò)點(diǎn)P作MN∥BC分別交AB，AC于M，N兩點(diǎn)，

∵PE∥AC，PF∥AB，

∴四邊形AEPF是平行四邊形，

∵MN∥BC，PF∥AB，

∴四邊形BDPM是平行四邊形，

∴AE＝PF，∠EPM＝∠ANM＝∠C，

∵AB＝AC，

∴∠EMP＝∠B，

∴∠EMP＝∠EPM，

∴PE＝EM，

∴PE+PF＝AE+EM＝AM．

∵四邊形BDPM是平行四邊形，

∴MB＝PD．

∴PD+PE+PF＝MB+AM＝AB，

即PD+PE+PF＝AB；

（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)P作MN∥BC分別交AB、AC延長(zhǎng)線于M、N兩點(diǎn)．

∵PE∥AC，PF∥AB，

∴四邊形PEAF是平行四邊形，

∴PF＝AE，

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∵MN∥BC，

∴∠ANM＝∠C＝∠B＝∠AMN，

∵PE∥AC，

∴∠EPM＝∠FNP，

∴∠AMN＝∠FPN，

∴∠EPM＝∠EMP，

∴PE＝ME，

∵AE+ME＝AM，

∴PE+PF＝AM，

∵MN∥CB，DF∥AB，

∴四邊形BDPM是平行四邊形，

∴MB＝PD，

∴PE+PF﹣PD＝AM﹣MB＝AB，

∴PE+PF＝AB+PD＝6+1＝7，

∴平行四邊形PEAF的周長(zhǎng)＝14，

故答案為：14．