Question

【題目】如圖，直線y1=x+2與雙曲線y2=交于A（a，4），B（m，n）．

（1）求k值和點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）求△AOB的面積；

（3）當(dāng)y1＞y2時(shí)請(qǐng)直接寫(xiě)出x的取值范圍；

（4）P為x軸上任意一點(diǎn)，當(dāng)△ABP為直角三角形時(shí)，直接寫(xiě)出P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）8（2）點(diǎn)B（﹣4，﹣2）（3）﹣4＜x＜0或x＞2（4）當(dāng)△ABP為直角三角形時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1﹣，0）、（﹣1+，0）、（﹣6，0）或（6，0）

【解析】試題分析：（1）由點(diǎn)A在直線上可求出a，從而得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，由點(diǎn)A在反比例函數(shù)圖象上即可求出k值；

（2）聯(lián)立直線與雙曲線的解析式成方程組，解方程組即可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（3）根據(jù)函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系結(jié)合交點(diǎn)坐標(biāo)即可得出結(jié)論；

（4）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），由兩點(diǎn)間的距離公式求出AP、AB、BP，分AP、AB、BP為斜邊來(lái)考慮，根據(jù)勾股定理得出關(guān)于m的方程，解方程即可得出結(jié)論．

試題解析：解：（1）∵點(diǎn)A（a，4）在直線y1=x+2上，∴4=a+2，解得：a=2，∴點(diǎn)A（2，4）．∵點(diǎn)A（2，4）在雙曲線 上，∴k=2×4=8．

（2）聯(lián)立直線與雙曲線解析式成方程組得： ，解得： ， ，∴點(diǎn)B（﹣4，﹣2）．

（3）觀察函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)：當(dāng)﹣4＜x＜0或x＞2時(shí)，直線在雙曲線的上方，∴當(dāng)y1＞y2時(shí)x的取值范圍為﹣4＜x＜0或x＞2．

（4）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），則AB2= =72，AP2=，BP2= ，△ABP為直角三角形分三種情況：

①AB為斜邊時(shí)（圖1），有AB2=AP2+BP2，即72=（m﹣2）2+16+（m+4）2+4，解得：m1=﹣1﹣，m2=﹣1+，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（﹣1﹣，0）或（﹣1+，0）；

②AP為斜邊時(shí)（圖2），有AP2=AB2+BP2，即（m﹣2）2+16=72+（m+4）2+4，解得：m3=﹣6，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（﹣6，0）；

③BP為斜邊時(shí)（圖3），有BP2=AB2+AP2，即（m+4）2+4=72+（m﹣2）2+16，解得：m4=6，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（6，0）．

綜上可知：當(dāng)△ABP為直角三角形時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1﹣，0）、（﹣1+，0）、（﹣6，0）或（6，0）．