Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，對于線段MN的“三等分變換”，給出如下定義：如圖1，點P，Q為線段MN的三等分點，即MP＝PQ＝QN，將線段PM以點P為旋轉中心順時針旋轉90°得到PM′，將線段QN以點Q為旋轉中心順時針旋轉90°得到QN′，則稱線段MN進行了三等分變換，其中M′，N′記為點M，N三等分變換后的對應點.

例如：如圖2，線段MN，點M的坐標為（1，5），點N的坐標為（1，2），則點P的坐標為（1，4），點Q的坐標為（1，3），那么線段MN三等分變換后，可得：M′的坐標為（2，4），點N′的坐標為（0，3）.

（1）若點P的坐標為（2，0），點Q的坐標為（4，0），直接寫出點M′與點N′的坐標；

（2）若點Q的坐標是（0，﹣），點P在x軸正半軸上，點N′在第二象限.當線段PQ的長度為符合條件的最小整數(shù)時，求OP的長；

（3）若點Q的坐標為（0，0），點M′的坐標為（﹣3，﹣3），直接寫出點P與點N的坐標；

（4）點P是以原點O為圓心，1為半徑的圓上的一個定點，點P的坐標為（，）當點N′在圓O內部或圓上時，求線段PQ的取值范圍及PQ取最大值時點M′的坐標.

Answer 1

【答案】（1）M（2，2），N′（4，﹣2）；（2）；（3）P（0，﹣3），N（0，3）；（4）（，）

【解析】

（1）根據(jù)“三等分變換”的定義，可知M（2，2），N′（4，﹣2）；（2）若點Q的坐標是（0，﹣），點P在x軸正半軸上，點N′在第二象限.當線段PQ的長度為符合條件的最小整數(shù)時，求OP的長；

（3）若點Q的坐標為（0，0），點M′的坐標為（﹣3，﹣3），直接寫出點P與點N的坐標；（4）如圖3中，過點P作PA⊥x軸于點A.在Rt△OAP中，由勾股定理，OP＝，在△PQN′中，∠PQN′＝90°，PQ＝QN′，推出點N′在⊙O內部或在⊙O上運動，當PN′為⊙O直徑時，PN′最大，推出∠QPN′＝45°推出PQ＝PN′＝，推出PQ的取值范圍：0＜PQ≤，由P（，﹣），由對稱性可知N′（﹣，），再根據(jù)平行四邊形的性質求出點M′坐標即可.

解：（1）∵PQ＝2，根據(jù)“三等分變換”的定義，可知M（2，2），N′（4，﹣2）.

（2）①當PQ＝1時，OQ＝

在RT△OPQ中，如圖1中，

∴OP＝OQ

∴∠OQP＝∠OPQ＝45°

∵∠PQN′＝90°PQ＝Q N′

∴點N’在x軸負半軸上，不在第二象限

∴PQ＝1不符合題意.

②當PQ＝2時

OP＝，

此時，點N′在第二象限符合題意.

（3）如圖2中，由圖象可知，P（0，﹣3），N（0，3）.

（4）如圖3中，過點P作PA⊥x軸于點A.

在Rt△OAP中，由勾股定理，OP＝，

在△PQN′中，∠PQN′＝90°，PQ＝QN'

點N'在⊙O內部或在⊙O上運動，當PN′為⊙O直徑時，PN′最大

∠QPN′＝45°

∴PQ＝PN′＝，

∴PQ的取值范圍：0＜PQ≤，

∵P（，﹣）

由對稱性可知N′（﹣，）

過點N′作N′E⊥x軸于點E，過點Q作QF⊥x軸于點F

易證△ON′E≌△QOF，

∴OF＝EN′＝，FQ＝OE＝

∴Q（﹣，﹣）

∵∠N′QP＝∠QP M′＝90°

∴N′Q∥PM′，

又∵N′Q＝PM′，

∴四邊形PN′QM′是平行四邊形，對角線的交點為J，設M′（m，n）

則J（，﹣），

則有，，

解得，，

∴點M′的坐標為（，）.