Question

14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90，AC=BC，OA=1，OC=4，拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為D．
（1）求b，c的值；
（2）點(diǎn)E是直角三角形ABC斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)A、B除外），過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)F，當(dāng)線段EF的長(zhǎng)度最大時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下：
①求以點(diǎn)E、B、F、D為頂點(diǎn)的四邊形的面積；
②在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使△EFP是以EF為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由∠ACB=90°，AC=BC，OA=1，OC=4，可得A（-1，0）、B（4，5），然后利用待定系數(shù)法即可求得b，c的值；
（2）由直線AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，0），B（4，5），即可求得直線AB的解析式，又由二次函數(shù)y=x²-2x-3，設(shè)點(diǎn)E（t，t+1），則可得點(diǎn)F的坐標(biāo)，則可求得EF的最大值，求得點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）①順次連接點(diǎn)E、B、F、D得四邊形EBFD，可求出點(diǎn)F的坐標(biāo)（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，-4）由S_{四邊形EBFD}=S_△BEF+S_△DEF即可求得；
②過(guò)點(diǎn)E作a⊥EF交拋物線于點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P（m，m²-2m-3），可得m²-2m-3=$\frac{5}{2}$，即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，又由過(guò)點(diǎn)F作b⊥EF交拋物線于P₃，設(shè)P₃（n，n²-2n-3），可得n²-2n-2=-$\frac{15}{4}$，求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，則可得使△EFP是以EF為直角邊的直角三角形的P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）由已知得：A（-1，0），B（4，5），
∵二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，0），B（4，5），
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{16+4b+c=5}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$；

如圖：∵直線AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，0），B（4，5），
∴直線AB的解析式為：y=x+1，
∵二次函數(shù)y=x²-2x-3，
∴設(shè)點(diǎn)E（t，t+1），則F（t，t²-2t-3），
∴EF=（t+1）-（t²-2t-3）=-（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{25}{4}$，
∴當(dāng)t=$\frac{3}{2}$時(shí)，EF的最大值為$\frac{25}{4}$，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$）；

（3）①如圖：順次連接點(diǎn)E、B、F、D得四邊形EBFD．

可求出點(diǎn)F的坐標(biāo)（$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，-4）
S_{四邊形EBFD}=S_△BEF+S_△DEF=$\frac{1}{2}$×$\frac{25}{4}$×（4-$\frac{3}{2}$）+$\frac{1}{2}$×$\frac{25}{4}$×（$\frac{3}{2}$-1）=$\frac{75}{8}$；

②如圖：

（�。┻^(guò)點(diǎn)E作a⊥EF交拋物線于點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P（m，m²-2m-3）
則有：m²-2m-3=$\frac{5}{2}$，
解得：m₁=1+$\frac{\sqrt{26}}{2}$，m₂=1-$\frac{\sqrt{26}}{2}$，
∴P₁（1+$\frac{\sqrt{26}}{2}$，$\frac{5}{2}$），P₂（1-$\frac{\sqrt{26}}{2}$，$\frac{5}{2}$）；

（ⅱ）過(guò)點(diǎn)F作b⊥EF交拋物線于P₃，設(shè)P₃（n，n²-2n-3）
則有：n²-2n-3=-$\frac{15}{4}$，
解得：n₁=$\frac{1}{2}$，n₂=$\frac{3}{2}$（與點(diǎn)F重合，舍去），
∴P₃（$\frac{1}{2}$，-$\frac{15}{4}$），
綜上所述：所有點(diǎn)P的坐標(biāo)：P₁（1+$\frac{\sqrt{26}}{2}$，$\frac{5}{2}$），P₂（1-$\frac{\sqrt{26}}{2}$，$\frac{5}{2}$），P₃（$\frac{1}{2}$，-$\frac{15}{4}$）能使△EFP組成以EF為直角邊的直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，四邊形與三角形面積問題以及直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是注意方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．