Question

如圖，已知拋物線y=x²-ax+a²-4a-4與x軸相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，與y軸相交于點(diǎn)D（0，8），直線DC平行于x軸，交拋物線于另一點(diǎn)C，動點(diǎn)P以每秒2個單位長度的速度從C點(diǎn)出發(fā)，沿C→D運(yùn)動，同時，點(diǎn)Q以每秒1個單位長度的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B運(yùn)動，連接PQ、CB，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為t秒．
（1）求a的值；
（2）當(dāng)四邊形ODPQ為矩形時，求這個矩形的面積；
（3）當(dāng)四邊形PQBC的面積等于14時，求t的值．
（4）當(dāng)t為何值時，△PBQ是等腰三角形？（直接寫出答案）

Answer 1

（1）把點(diǎn)（0，8）代入拋物線y=x²-ax+a²-4a-4得，
a²-4a-4=8，
解得：a₁=6，a₂=-2（不合題意，舍去），
因此a的值為6；

（2）由（1）可得拋物線的解析式為y=x²-6x+8，
當(dāng)y=0時，x²-6x+8=0，
解得：x₁=2，x₂=4，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），
當(dāng)y=8時，x²-6x+8=8，
解得：x₁=0，x₂=6，
∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，8），C點(diǎn)坐標(biāo)為（6，8），
DP=6-2t，OQ=2+t，
當(dāng)四邊形OQPD為矩形時，DP=OQ，
2+t=6-2t，t=

4

3

，OQ=2+

4

3

=

10

3

，
S=8×

10

3

=

80

3

，
即矩形OQPD的面積為

80

3

；

（3）四邊形PQBC的面積為

1

2

（BQ+PC）×8，當(dāng)此四邊形的面積為14時，

1

2

（2-t+2t）×8=14，
解得t=

3

2

（秒），
當(dāng)t=

3

2

時，四邊形PQBC的面積為14；

（4）過點(diǎn)P作PE⊥AB于E，連接PB，
當(dāng)QE=BE時，△PBQ是等腰三角形，
∵CP=2t，
∴DP=6-2t，
∴BE=OB-PD=4-（6-2t）=2t-2，
∵OQ=2+t，
∴QE=PD-OQ=6-2t-（2+t）=4-3t，
∴4-3t=2t-2，
解得：t=

6

5

，
∴當(dāng)t=

6

5

時，△PBQ是等腰三角形．