Question

如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸相交于點A（-3，0）、B（-1，0），與y軸相交于點C（0，3），點P是該圖象上的動點；一次函數(shù)y=kx-4k（k≠0）的圖象過點P交x軸于點Q．
（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）當(dāng)點P的坐標(biāo)為（-4，m）時，求證：∠OPC=∠AQC；
（3）點M，N分別在線段AQ、CQ上，點M以每秒3個單位長度的速度從點A向點Q運動，同時，點N以每秒1個單位長度的速度從點C向點Q運動，當(dāng)點M，N中有一點到達Q點時，兩點同時停止運動，設(shè)運動時間為t秒．
①連接AN，當(dāng)△AMN的面積最大時，求t的值；
②直線PQ能否垂直平分線段MN？若能，請求出此時點P的坐標(biāo)；若不能，請說明你的理由．

Answer 1

（1）設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+3）（x+1），
∵拋物線經(jīng)過點C（0，3），
∴3=a×3×1，解得a=1．
∴拋物線的解析式為：y=（x+3）（x+1）=x²+4x+3．

（2）證明：在拋物線解析式y(tǒng)=x²+4x+3中，當(dāng)x=-4時，y=3，∴P（-4，3）．
∵P（-4，3），C（0，3），
∴PC=4，PC∥x軸．
∵一次函數(shù)y=kx-4k（k≠0）的圖象交x軸于點Q，當(dāng)y=0時，x=4，
∴Q（4，0），OQ=4．
∴PC=OQ，又∵PC∥x軸，
∴四邊形POQC是平行四邊形，
∴∠OPC=∠AQC．

（3）①在Rt△COQ中，OC=3，OQ=4，由勾股定理得：CQ=5．
如答圖1所示，過點N作ND⊥x軸于點D，則ND∥OC，

∴△QND∽△QCO，
∴

ND

OC

=

NQ

CQ

，即

ND

3

=

5-t

5

，解得：ND=3-

3

5

t．
設(shè)S=S_△AMN，則：
S=

1

2

AM•ND=

1

2

•3t•（3-

3

5

t）=-

9

10

（t-

5

2

）²+

45

8

．
又∵AQ=7，∴點M到達終點的時間為t=

7

3

，
∴S=-

9

10

（t-

5

2

）²+

45

8

（0＜t≤

7

3

）．
∵-

9

10

＜0，

7

3

＜

5

2

，且x＜

5

2

時，y隨x的增大而增大，
∴當(dāng)t=

7

3

時，△AMN的面積最大．
②假設(shè)直線PQ能夠垂直平分線段MN，則有QM=QN，且PQ⊥MN，PQ平分∠AQC．
由QM=QN，得：7-3t=5-t，解得t=1．
設(shè)P（x，x²+4x+3），
若直線PQ⊥MN，則：過P作直線PE⊥x軸，垂足為E，
則△PEQ∽△MDN，
∴

PE

EQ

=

MD

DN

，
∴

x2+4x+3

4-x

=

4 5

12 5

∴x=

-13± 109

6

，
∴P（

-13+ 109

6

，

37- 109

18

）或（

-13- 109

6

，

37+ 109

18

）
∴直線PQ能垂直平分線段MN．