Question

13．如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC=5cm，BC=6cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿路線A-B-C勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），△APC的面積為y（cm²）．
（1）求△ABC的面積．
（2）求等腰△ABC腰上的高．
（3）請(qǐng)分別求出P在邊AB（0≤t≤5）、BC（5＜t≤11）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△APC的面積為y（cm²）與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（s）之間的函數(shù)關(guān)系式．
（4）是否存在某一時(shí)刻t，使得△APC的面積正好是△ABC面積的$\frac{5}{12}$，若存在，求出t的值；若不存在，說(shuō)明理由．
（5）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（s）為$\frac{7}{5}$或7時(shí)，（直接填空）△APC為直角三角形．

Answer 1

分析 （1）先求出等腰三角形底邊上的高，再用三角形的面積公式即可，
（2）利用△ABC的面積也等于腰乘以腰上的高的一半即可得出結(jié)論；
（3）利用三角形的面積公式即可；
（4）分兩種情況代入（3）的函數(shù)關(guān)系式中求出時(shí)間t；
（5）先判斷出要使△APC是直角三角形只有∠APC=90°，借助（1）（2）得出的結(jié)論即可．

解答 解：（1）如圖1，

過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，
∵AB=AC=5cm，BC=6cm，
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=3，
根據(jù)勾股定理得，AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=4，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AD=$\frac{1}{2}$×6×4=12，
即：△ABC的面積為12；
（2）如圖2，

過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB，
∵AB=5
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CE=$\frac{1}{2}$×5CE=$\frac{5}{2}$CE
由（1）知，S_△ABC=12，
∴$\frac{5}{2}$CE=12，
∴CE=$\frac{24}{5}$，
∴等腰△ABC腰上的高為$\frac{24}{5}$，
（3）當(dāng)點(diǎn)P在邊AB（0≤t≤5）時(shí)，
如圖3，

由運(yùn)動(dòng)知，AP=t，
∴y=S_△APC=$\frac{1}{2}$AP•CE=$\frac{1}{2}$t×$\frac{24}{5}$=$\frac{12}{5}$t；
當(dāng)點(diǎn)P在邊BC（5＜t≤11）時(shí)，
如圖4，

由運(yùn)動(dòng)知，PC=5+5-t=10-t，
∴y=S_△APC=$\frac{1}{2}$PC•AD=$\frac{1}{2}$（10-t）×4=-2t+20；
（4）存在，
由（1）知，S_△ABC=12，
∵△APC的面積正好是△ABC面積的$\frac{5}{12}$，
y=$\frac{5}{12}$×12=5
∴當(dāng)點(diǎn)P在邊AB（0≤t≤5）時(shí)，y=$\frac{12}{5}$t=5，
∴t=$\frac{25}{12}$，
當(dāng)點(diǎn)P在邊BC（5＜t≤11）時(shí)，y=-2t+20=5，
∴t=$\frac{15}{2}$，
即：滿足條件的t=$\frac{25}{12}$或$\frac{15}{2}$；
（5）∵AB=AC=5cm，BC=6cm，要使△APC為直角三角形，只有∠APC=90°，
當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí)，如圖2中的點(diǎn)E就是點(diǎn)P，
即：AP=AE，
在Rt△ACE中，AC=5，CE=$\frac{24}{5}$，
∴AE=$\sqrt{A{C}^{2}-C{E}^{2}}$=$\frac{7}{5}$，
∴t=$\frac{7}{5}$s，
當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，如圖1中的點(diǎn)D就是點(diǎn)P，
∴CP=CD=3，
∴（10-3）÷1=7s
故答案為：$\frac{7}{5}$或7．

點(diǎn)評(píng) 此題是三角形綜合題，主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的面積公式，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是求面積時(shí)，選用恰當(dāng)?shù)祝?/p>