Question

【題目】已知，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，D是AC邊上的一個動點，將△ABD沿BD所在直線折疊，使點A落在點P處．
（1）如圖1，若點D是AC中點，連接PC．

①寫出BP，BD的長；
②求證：四邊形BCPD是平行四邊形．
（2）如圖2，若BD=AD，過點P作PH⊥BC交BC的延長線于點H，求PH的長．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①在Rt△ABC中，∵BC=2，AC=4，

∴AB= =2 ，

∵AD=CD=2，

∴BD= =2 ，

由翻折可知，BP=BA=2 ．

②如圖1中，

∵△BCD是等腰直角三角形，

∴∠BDC=45°，

∴∠ADB=∠BDP=135°，

∴∠PDC=135°﹣45°=90°，

∴∠BCD=∠PDC=90°，

∴DP∥BC，∵PD=AD=BC=2，

∴四邊形BCPD是平行四邊形．

（2）

如圖2中，作DN⊥AB于N，PE⊥AC于E，延長BD交PA于M．

設BD=AD=x，則CD=4﹣x，

在Rt△BDC中，∵BD2=CD2+BC2，

∴x2=（4﹣x）2+22，

∴x= ，

∵DB=DA，DN⊥AB，

∴BN=AN= ，

在Rt△BDN中，DN= = ，

由△BDN∽△BAM，可得 = ，

∴ = ，

∴AM=2，

∴AP=2AM=4，

由△ADM∽△APE，可得 = ，

∴ = ，

∴AE= ，

∴EC=AC﹣AE=4﹣ = ，

易證四邊形PECH是矩形，

∴PH=EC= ．

【解析】（1）①分別在Rt△ABC，Rt△BDC中，求出AB、BD即可解決問題；②想辦法證明DP∥BC，DP=BC即可；（2）如圖2中，作DN⊥AB于N，PE⊥AC于E，延長BD交PA于M．設BD=AD=x，則CD=4﹣x，在Rt△BDC中，可得x2=（4﹣x）2+22 ， 推出x= ，推出DN= = ，由△BDN∽△BAM，可得 = ，由此求出AM，由△ADM∽△APE，可得 = ，由此求出AE= ，可得EC=AC﹣AE=4﹣ = 由此即可解決問題．
【考點精析】認真審題，首先需要了解勾股定理的概念(直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2)，還要掌握相似三角形的判定與性質(相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方)的相關知識才是答題的關鍵．