Question

13．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙C的半徑為r，點(diǎn)P是與圓心C不重合的點(diǎn)，給出如下定義：若點(diǎn)P′為射線CP上一點(diǎn)，滿足CP•CP′=r²，則稱點(diǎn)P′為點(diǎn)P關(guān)于⊙C的反演點(diǎn)．右圖為點(diǎn)P及其關(guān)于⊙C的反演點(diǎn)P′的示意圖．
（1）如圖1，當(dāng)⊙O的半徑為1時(shí)，分別求出點(diǎn)M（1，0），N（0，2），T（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）關(guān)于⊙O的反演點(diǎn)M′，N′，T′的坐標(biāo)；
（2）如圖2，已知點(diǎn)A（1，4），B（3，0），以AB為直徑的⊙G與y軸交于點(diǎn)C，D（點(diǎn)C位于點(diǎn)D下方），E為CD的中點(diǎn)．
①若點(diǎn)O，E關(guān)于⊙G的反演點(diǎn)分別為O′，E′，求∠E′O′G的大小；
②若點(diǎn)P在⊙G上，且∠BAP=∠OBC，設(shè)直線AP與x軸的交點(diǎn)為Q，點(diǎn)Q關(guān)于⊙G的反演點(diǎn)為Q′，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段GQ′的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）利用反演點(diǎn)定義，先求出：ON′，OT′，OM′的長(zhǎng)度，然后求出它們的坐標(biāo)；
（2）①求出：E′G，O′G，O′E′，利用勾股定理逆定理證明△E′O′G是RT△；
②考慮兩種情形，點(diǎn)P在直線AB左右都存在．

解答 解：（1）∵ON•ON′=1，ON=2，
∴ON′=$\frac{1}{2}$，∴反演點(diǎn)N′坐標(biāo)（0，$\frac{1}{2}$），
∵OM•OM′=1，OM=1，
∴OM′=1
反演點(diǎn)M′坐標(biāo)（1，0）
∵$OT•OT′=1，OT=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$OT′=\sqrt{2}$，
∵T′在第一象限的角平分線上，
∴反演點(diǎn)T′坐標(biāo)（1，1）
（2）①由題意：AB=2$\sqrt{5}$，r=$\sqrt{5}$，
∵E（0，2），G（2，2），EG=2，E′G•EG=5，
∴$E′G=\frac{5}{2}$，
∵OG•O′G=5，OG=2$\sqrt{5}$，
∴O′G=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∵E′（-$\frac{1}{2}$，2），O′（$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，$\frac{3\sqrt{5}}{2}$），
∴O′E′=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴E′G²=E′O′²+O′G²，
∴∠E′O′G=90°                                                            
 ②如圖：∵∠BAP₁=∠OBC，∠CAP₁+∠CBP₁=∠CAB+∠BAP₁+∠CBP₁=180°，∠OBC+∠CBP₁+∠P₁BQ₁=180°，∠CAB=45°，
∴∠P₁BQ₁=45°，
∵∠AP₁B=∠BP₁Q₁=90°，
∴△PBQ1是等腰直角三角形，
由△AP₁B∽△BOC得到：$\frac{AP1}{BP1}=\frac{BO}{CO}=3$，
∵$AB=2\sqrt{5}$，
∴$BP1=\sqrt{2}$，BQ₁=2，Q₁（5，0），
∵Q₁′G•GQ₁=5，
∴Q₁′G=$\frac{5\sqrt{13}}{13}$，
∵∠P2AB=∠BAP1，
∴P₁，P₂關(guān)于直線AB對(duì)稱，∵P₁（4，1），易知：P₂（$\frac{8}{5}$，-$\frac{1}{5}$），
∴直線AP₂：Y=-7X+11，∴Q₂（$\frac{11}{7}，0$），
由：Q₂′G•Q₂G=5得到：Q₂′G=$\frac{7\sqrt{205}}{41}$．

點(diǎn)評(píng) 本題目考查的知識(shí)點(diǎn)比較多，用到圓的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理逆定理等，題目綜合性比較強(qiáng)，利用到特殊三角形比如：△BP₁Q₁是等腰直角三角形，利用對(duì)稱求點(diǎn)的坐標(biāo)等知識(shí)點(diǎn)．