Question

△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點O．
（1）若∠ABC=40°，∠ACB=50°，則∠BOC=

135°

．
（2）若∠A=76°，則∠BOC=

128°

．
（3）若∠BOC=120°，則∠A=

60°

．
（4）你能找出∠A與∠BOC 之間的數(shù)量關(guān)系嗎？

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)角平分線的定義，即可求得：∠OCB=

1

2

∠ACB=25°，∠OBC=

1

2

∠ABC=20°，然后利用三角形內(nèi)角和定理即可求解；
（2）根據(jù)角平分線的定義以及三角形的內(nèi)角和定理可得：∠BOC=180°-（∠OCB+∠OBC）=180°-

1

2

（∠ACB+∠ABC），據(jù)此即可求解；
（3）根據(jù)角平分線的定義以及三角形的內(nèi)角和定理可得：∠ABC+∠ACB=2（∠OCB+∠OBC），據(jù)此即可求解；
（4）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可以得到：∠BOC=180°-（∠OCB+∠OBC）=180°-

1

2

（∠ACB+∠ABC）=180°-

1

2

（180°-∠A）．

解答：解：（1）∵CO、BO分別是∠ABC、∠ACB的平分線，
∴∠OCB=

1

2

∠ACB=25°，∠OBC=

1

2

∠ABC=20°．
∴∠BOC=180°-（∠OCB+∠OBC）=180°-（20°+25°）=135°；

（2）∵CO、BO分別是∠ABC、∠ACB的平分線，
∴∠OCB=

1

2

∠ACB，∠OBC=

1

2

∠ABC．
∴∠BOC=180°-（∠OCB+∠OBC）=180°-

1

2

（∠ACB+∠ABC），
又∵∠ACB+∠ABC=180°-∠A=104°．
∴∠BOC=180°-

1

2

×104°=128°；

（3）∵∠BOC=120°，
∴∠OCB+∠OBC=60°，
∵∠OCB=

1

2

∠ACB，∠OBC=

1

2

∠ABC．
∴∠ABC+∠ACB=2（∠OCB+∠OBC）=120°；
∴∠A=60°；

（4）∠BOC=180°-（∠OCB+∠OBC）=180°-

1

2

（∠ACB+∠ABC）=180°-

1

2

（180°-∠A）=90°+

1

2

∠A．

點評：本題考查了三角形的內(nèi)角和定理以及角平分線的定理正確理解：∠ABC+∠ACB=2（∠OCB+∠OBC）是關(guān)鍵．