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        1. 20、問題:已知△ABC中,∠BAC=2∠ACB,點D是△ABC內(nèi)的一點,且AD=CD,BD=BA.探究∠DBC與∠ABC度數(shù)的比值.
          請你完成下列探究過程:
          先將圖形特殊化,得出猜想,再對一般情況進行分析并加以證明.
          (1)當∠BAC=90°時,依問題中的條件補全右圖;
          觀察圖形,AB與AC的數(shù)量關系為
          相等
          ;當推出∠DAC=15°時,可進一步推出∠DBC的度數(shù)為
          15°
          ;可得到∠DBC與∠ABC度數(shù)的比值為
          1:3
          ;
          (2)當∠BAC<90°時,請你畫出圖形,研究∠DBC與∠ABC度數(shù)的比值是否與(1)中的結論相同,寫出你的猜想并加以證明.
          分析:(1)利用題中的已知條件,計算出∠ACB=∠ABC,所以AB=AC(等角對等邊);由等腰三角形的性質知∠BAD=∠BDA=75°,再根據(jù)三角形內(nèi)角和是180°,找出圖中角的等量關系,解答即可;
          (2)根據(jù)旋轉的性質,作∠KCA=∠BAC,過B點作BK∥AC交CK于點K,連接DK,構建四邊形ABKC是是等腰梯形,根據(jù)已知條件證明△KCD≌△BAD(SAS),再證明△DKB是正三角形,最后根據(jù)是等腰梯形與正三角形的性質,求得∠ABC與∠DBC的度數(shù)并求出比值.
          解答:解:(1)①當∠BAC=90°時,
          ∵∠BAC=2∠ACB,
          ∴∠ACB=45°,
          在△ABC中,∠ABC=180°-∠ACB-∠BAC=45°,
          ∴∠ACB=∠ABC,
          ∴AB=AC(等角對等邊);
          ②當∠DAC=15°時,
          ∠DAB=90°-15°=75°,
          ∵BD=BA,
          ∴∠BAD=∠BDA=75°,
          ∴∠DBA=180°-75°-75°=30°,
          ∴∠DBC=45°-30°=15°,即∠DBC=15°,
          ∴∠DBC的度數(shù)為15°;
          ③∵∠DBC=15°,∠ABC=45°,
          ∴∠DBC=15°:∠ABC=45°=1:3,
          ∴∠DBC與∠ABC度數(shù)的比值為1:3. 

          (2)猜想:∠DBC與∠ABC度數(shù)的比值與(1)中結論相同.
          證明:如圖2,作∠KCA=∠BAC,過B點作BK∥AC交CK于點K,連接DK.
          ∴四邊形ABKC是等腰梯形,
          ∴CK=AB,
          ∵DC=DA,
          ∴∠DCA=∠DAC,
          ∵∠KCA=∠BAC,
          ∴∠KCD=∠3,
          ∴△KCD≌△BAD,
          ∴∠2=∠4,KD=BD,
          ∴KD=BD=BA=KC.
          ∵BK∥AC,
          ∴∠ACB=∠6,
          ∵∠KCA=2∠ACB,
          ∴∠5=∠ACB,
          ∴∠5=∠6,
          ∴KC=KB,
          ∴KD=BD=KB,
          ∴∠KBD=60°,
          ∵∠ACB=∠6=60°-∠1,
          ∴∠BAC=2∠ACB=120°-2∠1,
          ∵∠1+(60°-∠1)+(120°-2∠1)+∠2=180°,
          ∴∠2=2∠1,
          ∴∠DBC與∠ABC度數(shù)的比值為1:3.
          點評:本題綜合考查了是等腰梯形的判定與性質、正三角形的性質、全等三角形的判定以及三角形的內(nèi)角和.
          練習冊系列答案
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          25、閱讀下面問題的解決過程:
          問題:已知△ABC中,P為BC邊上一定點,過點P作一直線,使其等分△ABC的面積.
          解決:
          情形1:如圖①,若點P恰為BC的中點,作直線AP即可.
          情形2:如圖②,若點P不是BC的中點,則取BC的中點D,連接AP,
          過點D作DE∥AP交AC于E,作直線PE,直線PE即為所求直線.
          問題解決:
          如圖③,已知四邊形ABCD,過點B作一直線(不必寫作法),使其等分四邊形ABCD的面積,并證明.

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          請你完成下列探究過程:
          先將圖形特殊化,得出猜想,再對一般情況進行分析并加以證明.
          (1)當∠BAC=90°時,依問題中的條件補全右圖;
          觀察圖形,AB與AC的數(shù)量關系為______;當推出∠DAC=15°時,可進一步推出∠DBC的度數(shù)為______;可得到∠DBC與∠ABC度數(shù)的比值為______;
          (2)當∠BAC<90°時,請你畫出圖形,研究∠DBC與∠ABC度數(shù)的比值是否與(1)中的結論相同,寫出你的猜想并加以證明.

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          請你完成下列探究過程:
          先將圖形特殊化,得出猜想,再對一般情況進行分析并加以證明.
          (1)當∠BAC=90°時,依問題中的條件補全右圖;
          觀察圖形,AB與AC的數(shù)量關系為______;當推出∠DAC=15°時,可進一步推出∠DBC的度數(shù)為______;可得到∠DBC與∠ABC度數(shù)的比值為______;
          (2)當∠BAC<90°時,請你畫出圖形,研究∠DBC與∠ABC度數(shù)的比值是否與(1)中的結論相同,寫出你的猜想并加以證明.

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