Question

6．如圖，⊙O的半徑為2，點P是⊙O外的一點，PO=5，點A是⊙O上的一個動點，連接PA，直線l垂直平分PA，當直線l與⊙O相切時，PA的長度為$\frac{21}{4}$．

Answer 1

分析 連接OA、OC（C為切點），過點O作OB⊥AP．根據題意可知四邊形BOCD為矩形，從而可知：BP=4+x，設AB的長為x，在Rt△AOB和Rt△OBP中，由勾股定理列出關于x的方程解得x的長，從而可計算出PA的長度．

解答 解：如圖所示．連接OA、OC（C為切點），過點O作OB⊥AP．
設AB的長為x，在Rt△AOB中，OB²=OA²-AB²=4-x²，
∵l與圓相切，
∴OC⊥l．
∵∠OBD=∠OCD=∠CDB=90°，
∴四邊形BOCD為矩形．
∴BD=OC=2．
∵直線l垂直平分PA，
∴PD=BD+AB=2+x．
∴PB=4+x．
在Rt△OBP中，OP²=OB²+PB²，即4-x²+（4+x）²=5²，解得x=$\frac{5}{8}$．
PA=2AD=2×（$\frac{5}{8}$+2）=$\frac{21}{4}$．
故答案為$\frac{21}{4}$．

點評 本題主要考查的是勾股定理、切線的性質、矩形的性質和判定的綜合應用，列出關于x的方程是解題的關鍵．