Question

17．定義：如果二次函數(shù)y₁=a₁x²+b₁x+c₁（a₁≠0，a₁、b₁、c₁是常數(shù)）與y₂=a₂x²+b₂x+c₂（a₂≠0，a₂、b₂、c₂是常數(shù)）滿足a₁+a₂=0，b₁=b₂，c₁+c₂=0，則稱這兩個(gè)函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．求y=-x²+3x-2函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．小明是這樣思考的：由y=-x²+3x-2函數(shù)可知a₁=-1，b₁=3，c₁=-2，根據(jù)a₁+a₂=0，b₁=b₂，c₁+c₂=0求出a₂，b₂，c₂，就能確定這個(gè)函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．
請(qǐng)參考小明的方法解決下面的問(wèn)題：
（1）寫(xiě)出函數(shù)y=-x²+3x-2的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”；
（2）若函數(shù)y₁=x²-$\frac{4n}{3}$x+n與y₂=-x²+mx-3互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，求（m+n）²⁰¹⁶的值；
（3）已知函數(shù)y=2（x+1）（x-4）的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A、B、C關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別是A₁、B₁、C₁，請(qǐng)指出經(jīng)過(guò)點(diǎn)A₁、B₁、C₁的二次函數(shù)與y=2（x+1）（x-4）是否互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．填是 （是或不是）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”的定義求出a₂，b₂，c₂，從而得到原函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”；
（2）根據(jù)“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”的定義得到-$\frac{4n}{3}$=m，-3+n=0，再解方程組求出m和n的值，然后根據(jù)乘方的意義計(jì)算；
（3）先根據(jù)拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題確定A（-1，0），B（4，0），C（0，-8），再利用關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到A₁（1，0），B₁（-4，0），C₁（0，8），則可利用交點(diǎn)式求出經(jīng)過(guò)點(diǎn)A₁，B₁，C₁的二次函數(shù)解析式為y=-2（x-1）（x+4）=-2x²-6x+8，再把y=2（x+1）（x-4）化為一般式，然后根據(jù)“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”的定義進(jìn)行判斷

解答 （1）解：∵a₁=-1，b₁=3，c₁=-2，
∴-1+a₂=0，b₂=3，-2+c₂=0，
∴a₂=1，b₂=3，c₂=2，
∴函數(shù)y=-x²+3x-2的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”為y=x²+3x+2；
（2）解：根據(jù)題意得-$\frac{4n}{3}$=m，-3+n=0，解得m=-4，n=3，
∴（m+n）²⁰¹⁶=（-4+3）²⁰¹⁶=1；
（3）解：當(dāng)x=0時(shí)，y=2（x+1）（x-4）=-8，則C（0，-8），
當(dāng)y=0時(shí)，2（x+1）（x-4）=0，解得x₁=-1，x₂=4，則A（-1，0），B（4，0），
∵點(diǎn)A、B、C關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別是A₁，B₁，C₁，
∴A₁（1，0），B₁（-4，0），C₁（0，8），
設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A₁，B₁，C₁的二次函數(shù)解析式為y=a₂（x-1）（x+4），把C₁（0，8）代入得a₂•（-1）•4=8，解得a₂=-2，
∴經(jīng)過(guò)點(diǎn)A₁，B₁，C₁的二次函數(shù)解析式為y=-2（x-1）（x+4）=-2x²-6x+8，
而y=2（x+1）（x-4）=2x²-6x-8，
∴a₁+a₂=2+（-2）=0，b₁=b₂=-6，c₁+c₂=0，
∴經(jīng)過(guò)點(diǎn)A₁、B₁、C₁的二次函數(shù)與函數(shù)y=2（x+1）（x-4）互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．
故答案為：是．

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，熟練掌握關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)的坐標(biāo)特征；會(huì)求二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)和待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；對(duì)新定義的理解能力．解題的關(guān)鍵是抓住互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”的定義，利用函數(shù)各多項(xiàng)式前面的系數(shù)解決問(wèn)題．