Question

19．如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于點E．在△ABC外取一點F，使FA⊥AE，F(xiàn)C⊥BC．
（1）求證：BE=CF；
（2）在AB上取一點M，使BM=2DE，連接ME．試判斷ME與BC是否垂直，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)∠BAC=90°，AF⊥AE可得∠1=∠2，然后根據(jù)FC⊥BC，得出∠B=∠FCA=45°，根據(jù)條件利用ASA證明△ABE≌△ACF，繼而可得BE=CF；
（2）過點E作EH⊥AB于H，求出△BEH是等腰直角三角形，然后求出HE=BH，再根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得DE=HE，然后求出HE=HM，從而得到△HEM是等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可．

解答 解：（1）∵∠BAC=90°，AF⊥AE，
∴∠1+∠EAC=90°，∠2+∠EAC=90°
∴∠1=∠2，
又∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵FC⊥BC，
∴∠FCA=90°-∠ACB=90°-45°=45°，
∴∠B=∠FCA，
在△ABE和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠FCA}\\{∠1=∠2}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴BE=CF；
（2）如圖，過點E作EH⊥AB于H，則△BEH是等腰直角三角形，
∴HE=BH，∠BEH=45°，
∵AE平分∠BAD，AD⊥BC，
∴DE=HE，
∴DE=BH=HE，
∵BM=2DE，
∴HE=HM，
∴△HEM是等腰直角三角形，
∴∠MEH=45°，
∴∠BEM=45°+45°=90°，
∴ME⊥BC．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出等腰直角三角形和全等三角形是解題的關(guān)鍵．