Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，∠CAB=60°，點(diǎn)O（0，0），點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)B（﹣1，0），點(diǎn)C在第二象限，點(diǎn)P（﹣2，）．

（I）如圖①，求C點(diǎn)坐標(biāo)及∠PCB的大�。�

（II）將△ABC繞C點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△MNC，點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)M，N，S為△PMN的面積．

①如圖②，當(dāng)點(diǎn)N落在邊CA上時(shí)，求S的值；

②求S的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）C（﹣1，2），∠PCB=30°；（Ⅱ）①21；②S的取值范圍為22．

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)B（﹣1，0）得到AB=2，利用銳角三角函數(shù)求出BC=ABtan60°=22，得到C（﹣1，2）．過點(diǎn)P作PE⊥CB，垂足為點(diǎn)E，過點(diǎn)P作PF⊥x軸，垂足為點(diǎn)F，證明四邊形PFBE為矩形，利用P（﹣2，）求出PE=FB=1，CE=CB﹣BE=2，由tan∠PCE得到∠PCB=30°；

（Ⅱ）①如圖2，過點(diǎn)P作PH⊥直線MN，垂足為點(diǎn)H，過點(diǎn)P作PG⊥AC，垂足為點(diǎn)G，則四邊形PHNG為矩形得到PH=GN，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到CN=CB=2，MN=AB=2，由（Ⅰ）可知∠PCB=30°，PE=1，求出PC=2，∠PCG=∠PCB+∠BCA=60°，得到PH=GN=CN﹣CG=CB﹣CG=21，由三角形的面積公式求出SMNPH2×PH=PH=21；

②分兩種情況：如圖3，當(dāng)點(diǎn)N在PC的延長線上時(shí)，S△PMN最大，如圖4，當(dāng)點(diǎn)N在CP的延長線上時(shí)，S△PMN最小，由此得到答案.

（Ⅰ）∵點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)B（﹣1，0），

∴OA=1，OB=1，

∴AB=2，

在Rt△ABC中，∠CAB=60°．

∵tan∠CAB，

∴BC=ABtan60°=22，

∴C（﹣1，2）．

如圖1，過點(diǎn)P作PE⊥CB，垂足為點(diǎn)E，過點(diǎn)P作PF⊥x軸，垂足為點(diǎn)F，

∴∠PFB=∠PEB=90°．

∵∠ABC=∠FBC=90°，

∴四邊形PFBE為矩形．

∵P（﹣2，），

∴OF=2，PF，

∴FB=OF﹣OB=1，

∴BE=PF，PE=FB=1，

∴CE=CB﹣BE=2．

在Rt△CPE中，

∵tan∠PCE，

∴∠PCB=30°．

（Ⅱ）①如圖2，過點(diǎn)P作PH⊥直線MN，垂足為點(diǎn)H，過點(diǎn)P作PG⊥AC，垂足為點(diǎn)G，則四邊形PHNG為矩形，

∴PH=GN．

∵△MNC是由△ABC旋轉(zhuǎn)得到的，

∴CN=CB=2，MN=AB=2．

∵∠ABC=90°，∠CAB=60°，

∴∠BCA=30°，

由（Ⅰ）可知∠PCB=30°，PE=1，

∴PC=2，∠PCG=∠PCB+∠BCA=60°．

在Rt△PCG中，∠CPG=30°，

∴CGPC=1，

∴PH=GN=CN﹣CG=CB﹣CG=21，

∴SMNPH2×PH=PH=21．

②S的取值范圍為22．

如圖3，當(dāng)點(diǎn)N在PC的延長線上時(shí)，S△PMN最大．

此時(shí)PN=PC+CN=2+2，

∴S22．

如圖4，當(dāng)點(diǎn)N在CP的延長線上時(shí)，S△PMN最�。�

此時(shí)PN=CN﹣CP=22，

∴S222，

∴22．

即S的取值范圍為22.