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        1. 【題目】如圖,正方形ABCD的邊長為4EBC邊的中點,點P在射線AD上,過PPFAEF,設(shè)PAx

          (1)求證:△PFA∽△ABE;

          (2)若以P,FE為頂點的三角形也與△ABE相似,試求x的值;

          (3)試求當(dāng)x取何值時,以D為圓心,DP為半徑的⊙D與線段AE只有一個公共點.

          【答案】(1)證明見解析;(2)滿足條件的x的值為25;(3)當(dāng)x=4-x=4+8x≤4+2時,⊙D與線段AE只有一個公共點.

          【解析】

          1)根據(jù)正方形的性質(zhì)和PFAE易證三角形相似.

          2)由于對應(yīng)關(guān)系不確定,所以應(yīng)針對不同的對應(yīng)關(guān)系分情況考慮:當(dāng)∠PEF=EAB時,則得到四邊形ABEP為矩形,從而求得x的值;當(dāng)∠PEF=AEB時,再結(jié)合PFA∽△ABE,得到等腰APE.再根據(jù)等腰三角形的三線合一得到FAE的中點,運用勾股定理和相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解.

          3)此題首先應(yīng)針對點P的位置分為兩種大情況:點PAD邊上時或當(dāng)點PAD的延長線上時.同時還要特別注意⊙D與線段AE只有一個公共點,不一定必須相切,只要保證和線段AE只有一個公共點即可.故求得相切時的情況和相交,但其中一個交點在線段AE外的情況即是x的取值范圍.

          (1)證明:∵正方形ABCD,

          ADBC

          ∴∠ABE90°

          ∴∠PAF=∠AEB

          又∵PFAE,

          ∴∠PFA=∠ABE90°

          ∴△PFA∽△ABE

          (2)解:情況1,當(dāng)EFP∽△ABE,且∠PEF=∠EAB時,

          則有PEAB

          ∴四邊形ABEP為矩形.

          PAEB2,即x2

          情況2,當(dāng)PFE∽△ABE,且∠PEF=∠AEB時,

          ∵∠PAF=∠AEB,

          ∴∠PEF=∠PAF

          PEPA

          PFAE,

          ∴點FAE的中點.

          ===,

          EF=AE=

          =,即=,

          PE5,即x5

          ∴滿足條件的x的值為25

          (3)解:如圖,

          DHAE,則⊙D與線段AE的距離d即為DH的長,可得d

          當(dāng)點PAD邊上時,⊙D的半徑rDP4x;

          當(dāng)點PAD的延長線上時,⊙D的半徑rDPx4

          如圖1時,⊙D與線段AE相切,此時dr,即=4-x,∴x=4-;

          如圖2時,⊙D與線段AE相切,此時dr,即=x-4,∴x=4+;

          如圖3時,DA=PD,則PA=x=2DA=8

          如圖4時,當(dāng)PDED時,

          DE2,

          PAPD+AD4+2

          ∴當(dāng)x=4-x=4+8x≤4+2時,⊙D與線段AE只有一個公共點.

          練習(xí)冊系列答案
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          (1)求出a值;

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