Question

【題目】如圖，⊙O的直徑AB=10，C、D為⊙O上不同于A、B的兩點，OC平分∠ACD，連結(jié)BC，BD．

（1）求證：OC∥BD；

（2）過點C作CE⊥DB，垂足為點E．

①求證：△CBE∽△DCE；②若AC=8，求BD的長；

（3）直接寫出△BCD面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②BD=2．8；（3）△BCD面積的最大值為

【解析】

(1)根據(jù)同弧所對的圓周角相等得∠BDC=∠BAC，再由半徑相等和角平分線定義等量代換得∠OCD=∠CDB即可證明；

(2)①根據(jù)(1)的結(jié)論和CE⊥DB可得CE⊥OC，進而得∠ECB=∠CDB，即可證明兩三角形相似；②根據(jù)勾股定理先求BC的長，再證明△ABC和△CBE相似，對應邊成比例可求出CE和BE的長，由①中的三角形相似對應邊成比例求出DE的長進而求得BD的長；

(3)根據(jù)(2)的過程即可表示△BCD的最大面積；

（1）∵∠BDC和∠BAC是同弧所對的圓周角，

∴∠BDC=∠BAC，

∴OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∵OC平分∠ACD，

∴∠OCA=∠OCD，

∴∠OCD=∠CDB，

∴OC∥BD；

(2)①證明：∵OC∥BD，CE⊥DE，

∴CE⊥OC，

∴∠CEB=90°，

∴∠ECB+∠OCB=90°，

∵AB是直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠ACO+∠OCB=90°，

∴∠ACO+∠OCB=90°，

∴∠ECB=∠ACO，

∵∠ACO=∠CDB，

∴∠ECB=∠CDB，∠CEB=∠DEC，

即△CBE△DCE；

②由①得，∠ACO=∠ECB，∠ACB=∠BEC=90°，

∴△ABC△CBE，

∴，

∵Rt△ABC中，AB=10，AC=8，根據(jù)勾股定理得，BC=6，

∴，

解得，，

由①得，△CBE△DCE，

∴，

∴，

解得，

∴BD=DE-BE==2.8；

（3）如圖：過點O作OG⊥BD于點G，

由(2)CE⊥BD，OC⊥CE，

可得四邊形COGE是矩形，

∴OC=GE=5，CE=OG，

設BG=x，則BD=2x，BO=5，

在Rt△BGO中，根據(jù)勾股定理，得，

，

∴，

即，

∴=，

∴，

∴的最大值為為

∴S的最大值為為；

即△BCD面積的最大值為為；