Question

15．已知：如圖，在矩形ABCD中，點E在邊AB上，點F為CE的中點，連接AF、DF．
（1）求證：△AFD為等腰三角形；
（2）若AB=3，AD=5，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出當△AFD的面積為整數時所有AE的長．

Answer 1

分析 （1）延長AF交DC延長線于點M，如圖，先根據矩形的性質得到AB∥CD，∠ADC=90°，再利用平行線的性質得∠EAF=∠M，則可根據“ASA”判定△AFM≌△MFC，得到AF=FM，然后利用直角三角形斜邊上的中線性質可判定△AFD為等腰三角形；
（2）設AE=x，△ADF的面積用S表示，利用全等的性質得到CM=AE=x，再根據三角形面積公式得到S_△ADF=$\frac{1}{2}$S_△ADM=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$•5•（3+x），則x=$\frac{4S-15}{5}$，再利用0＜x＜3得到0＜$\frac{4S-15}{5}$＜3，解不等式得到得S的整數值為4、5、6、7，然后分別計算對應的x的值即可．

解答 （1）證明：延長AF交DC延長線于點M，如圖，
∵四邊形ABCD為ABCD，
∴AB∥CD，∠ADC=90°，
∴∠EAF=∠M，
在△AFM和△MFC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAF=∠M}\\{FE=FC}\\{∠AFE=∠MFC}\end{array}\right.$，
∴△AFM≌△MFC，
∴AF=FM，
∴DF為Rt△ADM的斜邊AM上的中線，
∴AF=DF=MF，
∴△AFD為等腰三角形；
（2）解：設AE=x，△ADF的面積用S表示，
∵△AFM≌△MFC，
∴CM=AE=x，
∵AF=MF，
∴S_△ADF=$\frac{1}{2}$S_△ADM=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$•5•（3+x），
即S=$\frac{5x+15}{4}$，
∴x=$\frac{4S-15}{5}$，
∵0＜x＜3，
∴0＜$\frac{4S-15}{5}$＜3，解得3.75＜S＜7.5，
∴S的整數值為4、5、6、7，
當S=4時，x=$\frac{4S-15}{5}$=$\frac{1}{5}$，
當S=5時，x=$\frac{4S-15}{5}$=1，
當S=6時，x=$\frac{4S-15}{5}$=$\frac{9}{5}$，
當S=7時，x=$\frac{4S-15}{5}$=$\frac{13}{5}$，
即當△AFD的面積為整數時AE的長為$\frac{1}{5}$，1，$\frac{9}{5}$，$\frac{13}{5}$．

點評 本題考查了矩形的性質：平行四邊形的性質矩形都具有；矩形的四個角都是直角．也考查了全等三角形的判定與性質．