Question

15．如圖，邊長都是1的正方形和正三角形，其一邊在同一水平線上，三角形沿該水平線左向右勻速穿過正方形．設(shè)穿過的時間為t，正方形與三角形重合部分的面積為S（空白部分），求出s與t之間的函數(shù)關(guān)系式，寫出自變量的取值范圍．

Answer 1

分析 分0≤t≤$\frac{1}{2}$、$\frac{1}{2}$＜t≤1、1＜t≤$\frac{3}{2}$、$\frac{3}{2}$＜t≤2四種情況，根據(jù)三角形的面積公式和割補(bǔ)法列出重疊部分面積可得．

解答 解：∵邊長都是1的正方形和正三角形，其一邊在同一水平線上，三角形沿該水平線左向右勻速穿過正方形．設(shè)穿過的時間為t，正方形與三角形重合部分的面積為S，
∴S關(guān)于t的函數(shù)大致圖象應(yīng)為：三角形進(jìn)入正方形以前是空白部分面積逐漸增大，
當(dāng)0≤t≤$\frac{1}{2}$時，S=$\frac{1}{2}$×t×$\sqrt{3}$t=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²；
當(dāng)$\frac{1}{2}$＜t≤1時，S=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{2}$×（1-t）×$\sqrt{3}$（1-t）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²+$\sqrt{3}$t-$\frac{\sqrt{3}}{4}$；
當(dāng)1＜t≤$\frac{3}{2}$時，S=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{2}$×（t-1）×$\sqrt{3}$（t-1）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²+$\sqrt{3}$t-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
當(dāng)$\frac{3}{2}$＜t≤2時，S=$\frac{1}{2}$（2-t）×$\sqrt{3}$（2-t）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²-2$\sqrt{3}$t+2$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，理解題意找到面積變化的拐點是解題的解題的關(guān)鍵．