Question

【題目】已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（5，0），點(diǎn)B是y軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，以O(shè)B、OA為邊作矩形OBCA，點(diǎn)E、H分別在邊BC和邊OA上，將△BOE沿著OE對(duì)折，使點(diǎn)B落在OC上的F點(diǎn)處，將△ACH沿著CH對(duì)折，使點(diǎn)A落在OC上的G點(diǎn)處．

（1）如圖1，求證：四邊形OECH是平行四邊形；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到使得點(diǎn)F、G重合時(shí)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)，并判斷四邊形OECH是什么四邊形？說明理由；

（3）當(dāng)點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到使得點(diǎn)F，G將對(duì)角線OC三等分時(shí)，如圖3，如圖4，分別求點(diǎn)B的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖1，

∵四邊形OBCA為矩形，

∴OB∥CA，BC∥OA，

∴∠BOC=∠OCA，

又∵△BOE沿著OE對(duì)折，使點(diǎn)B落在OC上的F點(diǎn)處；△ACH沿著CH對(duì)折，使點(diǎn)A落在OC上的G點(diǎn)處，

∴∠BOC=2∠EOC，∠OCA=2∠OCH，

∴∠EOC=∠OCH，

∴OE∥CH，

又∵BC∥OA，

∴四邊形OECH是平行四邊形；

（2）解：點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0， ）；四邊形OECH是菱形．理由如下：如圖2，

∵△BOE沿著OE對(duì)折，使點(diǎn)B落在OC上的F點(diǎn)處；△ACH沿著CH對(duì)折，使點(diǎn)A落在OC上的G點(diǎn)處，

∴∠EFO=∠EBO=90°，∠CFH=∠CAF=90°，

∵點(diǎn)F，G重合，

∴EH⊥OC，

又∵四邊形OECH是平行四邊形，

∴平行四邊形OECH是菱形，
∴EO=EC，

∴∠EOC=∠ECO，

又∵∠EOC=∠BOE，

∴∠EOB=∠EOC=∠ECO=30°，

又∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（5，0），

∴OA=5，

∴BC=5，

在Rt△OBC中，OB= BC= ，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0， ）；

（3）解：①當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)O，G之間時(shí)，如圖3，

∵△BOE沿著OE對(duì)折，使點(diǎn)B落在OC上的F點(diǎn)處；△ACH沿著CH對(duì)折，使點(diǎn)A落在OC上的G點(diǎn)處，

∴OF=OB，CG=CA，

而OB=CA，

∴OF=CG，

∵點(diǎn)F，G將對(duì)角線OC三等分，

∴AC=OF=FG=GC，

設(shè)AC=m，則OC=3m，

在Rt△OAC中，OA=5，

∵AC2+OA2=OC2，

∴m2+52=（3m）2，解得m= ，

∴OB=AC= ，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0， ）；

②當(dāng)點(diǎn)G在O，F(xiàn)之間時(shí)，如圖4，

同理可得OF=CG=AC，

設(shè)OG=n，則AC=GC=2n，

在Rt△OAC中，OA=5，

∵AC2+OA2=OC2，

∴（2n）2+52=（3n）2，解得n= ，

∴AC=OB=2 ，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，2 ）．

【解析】（1）如圖1，根據(jù)矩形的性質(zhì)得OB∥CA，BC∥OA，再利用平行線的性質(zhì)得∠BOC=∠OCA，然后根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠BOC=2∠EOC，∠OCA=2∠OCH，故∠EOC=∠OCH，根據(jù)平行線的判定定理得OE∥CH，又BC∥OA，于是可根據(jù)平行四邊形的判定方法得四邊形OECH是平行四邊形；
（2）如圖2，先根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠EFO=∠EBO=90°，∠CFH=∠CAF=90°，由點(diǎn)F，G重合得到EH⊥OC，根據(jù)菱形的判定方法得到平行四邊形OECH是菱形，則EO=EC，根據(jù)等邊對(duì)等角得∠EOC=∠ECO，而∠EOC=∠BOE，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可計(jì)算出∠EOB=∠EOC=∠ECO=30°，在Rt△OBC中，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得OB ，從而得出B點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）分類討論：①當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)O，G之間時(shí)，如圖3，，根據(jù)折疊的性質(zhì)得OF=OB，CG=CA，則OF=CG，故AC=OF=FG=GC，設(shè)AC=m，則OC=3m，在Rt△OAC中，根據(jù)勾股定理得出方程，解方程得m的值，從而找到OA=AC的長(zhǎng)，得出B點(diǎn)坐標(biāo)；
②當(dāng)點(diǎn)G在O，F(xiàn)之間時(shí)，如圖4，，同理可得OF=CG=AC，設(shè)OG=n，則AC=GC=2n，在Rt△OAC中，OA=5，根據(jù)勾股定理得出方程，解出方程即得出AC=OB的長(zhǎng)，進(jìn)而得出B點(diǎn)的坐標(biāo)。

【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解平行線的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握由角的相等或互補(bǔ)（數(shù)量關(guān)系）的條件，得到兩條直線平行（位置關(guān)系）這是平行線的判定；由平行線（位置關(guān)系）得到有關(guān)角相等或互補(bǔ)（數(shù)量關(guān)系）的結(jié)論是平行線的性質(zhì)，以及對(duì)平行四邊形的判定的理解，了解兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形．