Question

【題目】探索：小明在研究數(shù)學(xué)問題：已知AB∥CD，AB和CD都不經(jīng)過點P，探索∠P與∠C的數(shù)量關(guān)系．

發(fā)現(xiàn)：在如圖中，：∠APC=∠A+∠C；如圖

小明是這樣證明的：過點P作PQ∥AB

∴∠APQ=∠A(_ __)

∵PQ∥AB,AB∥CD.

∴PQ∥CD(__ _)

∴∠CPQ=∠C

∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C

即∠APC=∠A+∠C

(1)為小明的證明填上推理的依據(jù)；

(2)應(yīng)用：①在如圖中，∠P與∠A、∠C的數(shù)量關(guān)系為__ _；

②在如圖中,若∠A=30 ，∠C=70 ，則∠P的度數(shù)為__ _；

(3)拓展：在如圖中，探究∠P與∠A,∠C的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）兩直線平行，內(nèi)錯角相等；平行于同一直線的兩直線平行；（2）∠APC+∠A+∠C＝360；40°；（3）

【解析】

（1）過點P作PQ∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠APQ=∠A，∠CPQ=∠C，即可得出答案；
（2）①過點P作PQ∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠APQ+∠A=180°，∠CPQ+∠C=180°，即可得出答案；
②根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠PEB=∠C=70°，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出即可；
（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠APG+∠A=180°，求出∠APG=180°-∠A，根據(jù)PG∥CD得出∠CPG+∠C=180°，即可得出答案．

（1）證明：過點P作PQ∥AB，

所以∠APQ=∠A（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）
∵PQ∥AB，AB∥CD．
∴PQ∥CD（平行于同一直線的兩直線平行）
∴∠CPQ=∠C
∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C
即∠APC=∠A+∠C
故答案為兩直線平行，內(nèi)錯角相等；平行于同一直線的兩直線平行；
（2）①
解：過點P作PQ∥AB，

所以∠APQ+∠A=180°，
∵PQ∥AB，AB∥CD．
∴PQ∥CD，
∴∠CPQ+∠C=180°，
∴∠APQ+∠CPQ+∠A+∠C=360°，
即∠APC+∠A+∠C=360°，
故答案為∠APC+∠A+∠C=360°；
②
解：∵AB∥CD，∠C=70°，
∴∠PEB=∠C=70°，
∵∠A=30°，
∴∠P=∠PEB-∠A=40°，
故答案為40°；
（3）解：
∠APC=∠A-∠C．
理由是：如圖4，過點P作PG∥AB，

∵PG∥AB，
∴∠APG+∠A=180°，
∴∠APG=180°-∠A
∵PG∥AB，AB∥CD，
∴PG∥CD，（平行于同一直線的兩直線平行）
∴∠CPG+∠C=180°，
∴∠CPG=180°-∠C，
∴∠APC=∠CPG-∠APG=∠A-∠C．