Question

已知A、B、C、D是⊙O上的四點(diǎn)，

CD

=

BD

，AC是四邊形ABCD的對角線
（1）如圖1，連結(jié)BD，若∠CDB=60°，求證：AC是∠DAB的平分線；
（2）如圖2，過點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E，若AC=7，AB=5，求線段AE的長度．

Answer 1

（1）證明：∵

CD

=

BD

，
∴CD=BD，
∵∠CDB=60°，
∴△BCD是等邊三角形，
∴

CD

=

BC

，
∴∠CAD=∠BAC，即AC是∠DAB的平分線；

（2）連接BD，在線段CE上取點(diǎn)F，使得EF=AE，連接DF，
∵DE⊥AC，
∴DF=DA，
∴∠DFE=∠DAE，
∵

CD

=

BD

，
∴CD=BD，∠DAC=∠DCB，
∴∠DFE=∠DCB，
∵四邊形ABCD是圓的內(nèi)接四邊形，
∴∠DAB+∠DCB=180°，
∵∠DFC+∠DFE=180°，
∴∠DFC=∠DAB，
∵在△CDF和△BDA中，

∠DFC=∠DAB ∠DCF=∠DBA CD=BD

∴△CDF≌△BDA（AAS），
∴CF=AB=5，
∵AC=7，AB=5，
∴AE=

1

2

AF=

1

2

（AC-CF）=1．