Question

（2012•宜賓）如圖，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，將△DEF與△ABC重合在一起，△ABC不動(dòng)，△DEF運(yùn)動(dòng)，并滿足：點(diǎn)E在邊BC上沿B到C的方向運(yùn)動(dòng)，且DE、始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，EF與AC交于M點(diǎn)．
（1）求證：△ABE∽△ECM；
（2）探究：在△DEF運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，重疊部分能否構(gòu)成等腰三角形？若能，求出BE的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)線段AM最短時(shí)，求重疊部分的面積．

Answer 1

分析：（1）由AB=AC，根據(jù)等邊對(duì)等角，可得∠B=∠C，又由△ABC≌△DEF與三角形外角的性質(zhì)，易證得∠CEM=∠BAE，則可證得：△ABE∽△ECM；
（2）首先由∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，可得AE≠AM，然后分別從AE=EM與AM=EM去分析，注意利用全等三角形與相似三角形的性質(zhì)求解即可求得答案；
（3）首先設(shè)BE=x，由△ABE∽△ECM，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，易得CM=-

x2

5

+

6

5

x=-

1

5

（x-3）²+

9

5

，繼而求得AM的值，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得線段AM的最小值，繼而求得重疊部分的面積．

解答：（1）證明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠AEF=∠B，
又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE，
∴∠CEM=∠BAE，
∴△ABE∽△ECM；

（2）能．
解：∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，
∴∠AME＞∠AEF，
∴AE≠AM；
當(dāng)AE=EM時(shí)，則△ABE≌△ECM，
∴CE=AB=5，
∴BE=BC-EC=6-5=1，
當(dāng)AM=EM時(shí)，則∠MAE=∠MEA，
∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM，
即∠CAB=∠CEA，
又∵∠C=∠C，
∴△CAE∽△CBA，
∴

CE

AC

=

AC

CB

，
∴CE=

AC2

CB

=

25

6

，
∴BE=6-

25

6

=

11

6

；
若AE=AM，此時(shí)E點(diǎn)與B點(diǎn)重合，M點(diǎn)與C點(diǎn)重合，即BE=0．
∴BE=1或

11

6

或0．

（3）解：設(shè)BE=x，
又∵△ABE∽△ECM，
∴

CM

BE

=

CE

AB

，
即：

CM

x

=

6-x

5

，
∴CM=-

x2

5

+

6

5

x=-

1

5

（x-3）²+

9

5

，
∴AM=5-CM═

1

5

（x-3）²+

16

5

，
∴當(dāng)x=3時(shí)，AM最短為

16

5

，
又∵當(dāng)BE=x=3=

1

2

BC時(shí)，
∴點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，
∴AE⊥BC，
∴AE=

AB2-BE2

=4，
此時(shí)，EF⊥AC，
∴EM=

CE2-CM2

=

12

5

，
S_△AEM=

1

2

×

16

5

×

12

5

=

96

25

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及二次函數(shù)的最值問題．此題難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與函數(shù)思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．