Question

（2013•鞍山二模）已知：在△ACB中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，點(diǎn)E在AC上，BE交CD于點(diǎn)G，EF⊥BE交AB于點(diǎn)F，
（1）如圖1，AC=BC，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，求證：EF=EG；
（2）如圖2，

EF

EG

=

5

2

，AC=2BC，試探究∠CBE與∠ABE的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）作EM⊥AB于點(diǎn)M，EN⊥CD于點(diǎn)N，根據(jù)全等三角形的證明方法利用ASA得出△EFM≌△EGN，即可得出EF=EG；
（2）∠CBE=∠ABE，作EP⊥AB于點(diǎn)P，EQ⊥CD于點(diǎn)Q，易證△EFP∽△EGQ，利用相似三角形的性質(zhì)和已知條件證明EP=CP即可．

解答：證明：（1）如答圖1，過(guò)E作EM⊥AB于M，EN⊥CD于N，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠ABC=45°，
∴AD=CD，
∵點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，CD⊥AB，EN⊥DC，
∴EN=

1

2

AD，
∴EM=

1

2

CD，
∴EN=EM，
∵∠FEB=90°，∠MEN=90°，
∴∠NEG=∠FEM，
在△EFM和△EGN中，

∠NEG=∠FEM EN=EM ∠ENG=∠EMF

，
∴△EFM≌△EGN（ASA），
∴EF=EG；
（2）解：∠CBE=∠ABE，
理由如下：
作EP⊥AB于點(diǎn)P，EQ⊥CD于點(diǎn)Q，
易證：△EFP∽△EGQ，
∴

EF

EG

=

EP

EQ

=

5

2

，
設(shè)EP=

5

x，QE=2x，
∵∠A=CEQ，
∴tan∠CEQ=

CQ

EQ

=tanA=

BC

AC

=

1

2

，
∴CQ=x，∴CE=

5

x，
∴EP=EC，
∵EP⊥AB于點(diǎn)P，EC⊥CB于C，
∴∠ABE=CBE．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、角平分線性質(zhì)定理的逆定理以及銳角三角函數(shù)的概念的考查．