Question

5．如圖，以△ABC的BC邊上的一點O為圓心的圓，經過A，B兩點，且與BC邊交于點E，D為BE的下半圓弧的中點，連接AD交BC于F，AC=FC．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）已知圓的半徑R=4，EF=3，求sin∠C的值．

Answer 1

分析 （1）作輔助線；證明∠OAC=90°，即可解決問題；
（2）在Rt△OAC中，根據勾股定理求出AC=FC的長，即可得OC，再由正弦定義可得結果．

解答 （1）證明：如圖，連接OA、OD．

∵OA=OD，AC=FC∴∠OAD=∠ODA，∠CAD=∠AFC=∠OFD，
∴∠OAD+∠CAD=∠ODA+∠OFD，
∴∠OAD+∠CAD=90°，
又∵OA是⊙0的半徑，
∴AC是⊙0的切線．
（2）解：∵圓的半徑R=4，EF=3∴OF=1，
在Rt△OAC中，設AC=x，則AC=FC=x，OC=x+1，
∴OC²=OA²+AC²即（x+1）²=16+x²
解得：$x=\frac{15}{2}$，
∴sin∠C=$\frac{OA}{OC}=\frac{4}{1+\frac{15}{2}}=\frac{8}{17}$．

點評 本題題主要考查圓的切線的判定、勾股定理、正弦函數等幾何知識點及其應用問題，解題的關鍵是作輔助線，靈活運用切線的判定是關鍵．