Question

3．如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°，AC⊥BC，AB=10cm，BC=6cm，F(xiàn)點以2cm/秒的速度在線段AB上由A向B勻速運動，E點同時以1cm/秒的速度在線段BC上由B向C勻速運動，設(shè)運動時間為t秒（0＜t＜5）．
（1）求證：△ACD∽△BAC；
（2）求DC的長；
（3）設(shè)四邊形AFEC的面積為y，求y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)t為何值時．四邊形AFEC的面積為19．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BAC=∠DCA，根據(jù)相似三角形的判定定理證明即可；
（2）根據(jù)勾股定理求出AC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式，計算即可；
（3）過點E作AB的垂線，垂足為G，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{EG}{AC}$=$\frac{BE}{AB}$，得到EF=$\frac{4}{5}$t，根據(jù)三角形的面積公式計算即可．

解答 解：（1）∵CD∥AB，
∴∠BAC=∠DCA，
∵AC⊥BC，∠ACB=90°，
∴∠D=∠ACB=90°，
∴△ACD∽△BAC；
（2）在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=8，
∵△ACD∽△BAC，
∴$\frac{DC}{AC}$=$\frac{AC}{AB}$，即$\frac{DC}{8}$=$\frac{8}{10}$，
解得：DC=6.4；
（3）過點E作AB的垂線，垂足為G，
則△ACB∽△EGB，
∴$\frac{EG}{AC}$=$\frac{BE}{AB}$，即$\frac{EG}{8}$=$\frac{t}{10}$，
解得，EF=$\frac{4}{5}$t，
則y=S_△ABC-S_△FBE=$\frac{1}{2}$×6×8-$\frac{1}{2}$×（10-2t）×$\frac{4}{5}$t=$\frac{4}{5}$t²-4t+24（0＜t＜5），
當(dāng)y=19時，$\frac{4}{5}$t²-4t+24=19
解得t=$\frac{5}{2}$，
故當(dāng)t=$\frac{5}{2}$時，y的值為19．

點評 本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)的解析式的確定，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．