Question

如圖，直線l₁與l₂相交于點(diǎn)A，點(diǎn)B、C分別在直線l₁與l₂上，且BC⊥l₂，垂足為C點(diǎn)．點(diǎn)D在直線l₂上，AC=4，BC=3．
（1）畫出⊙O，使⊙O經(jīng)過點(diǎn)B且與直線l₂相切于點(diǎn)D（不寫畫法，保留畫圖痕跡）；
（2）是否存在這樣的⊙O₁，既與直線l₂相切又與直線l₁相切于點(diǎn)B？若存在，求出⊙O₁的半徑；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）如圖1：①連接BD，作BD的垂直平分線MN，
②過點(diǎn)D作直線l₂的垂線，交直線MN于點(diǎn)O，
③以點(diǎn)O為圓心，OD長(zhǎng)為半徑作圓，
則⊙O即為所求的圓；

（2）存在．
如圖2：設(shè)⊙O₁切直線l₂于點(diǎn)E，連接O₁B，O₁E，過點(diǎn)O₁作O₁F⊥BC于點(diǎn)F，
∵BC⊥l₂，
∴∠O₁EC=∠ECF=∠O₁FD=90°，∠O₁BA=90°，
∴四邊形ECFO₁是矩形，
∴FC=O₁E，
∵∠BAC+∠ABC=90°，∠O₁BF+∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠O₁BF，
∵∠O₁FB=∠ACB=90°，
∴△BO₁F∽△ABC，
∴

BF

AC

=

O1B

AB

，
設(shè)⊙O₁的半徑為x，
∵AC=4，BC=3，
∴BF=BC-CF=3-x，
在Rt△ABC中，AB=

AC2+BC2

=5，
∴

3-x

4

=

x

5

，
解得：x=

5

3

，
∴⊙O₁的半徑為

5

3

．