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        1. 1.閱讀發(fā)現(xiàn):如圖①,在△ABC中,∠ACB=2∠B,∠ACB=90°,AD為∠BAC的平分線,且交BC于D,我們發(fā)現(xiàn)在AB上截取AE=AC,連結(jié)DE,可得AB=AC+CD(不需證明).
          探究:如圖②,當(dāng)∠ACB≠90°時,其他條件不變,線段AB、AC、CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系,寫出結(jié)果,并證明;
          拓展:如圖③,當(dāng)∠ACB=2∠B,∠ACB≠90°時,AD為△ABC的外角∠CAF的平分線,且交BC的延長線于點D,則線段AB、AC、CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?寫出你的猜想,不需證明.

          分析 (1)探究:在AB上截取AE=AC,連接ED,由AD為∠BAC的角平分線時,得到∠BAD=∠CAD,通過△AED≌△ACD得到∠AED=∠C,ED=CD,由已知得到∠B=∠EDB,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到EB=ED,即可得解;
          (2)拓展:在BA的延長線上截取AE=AC,連接ED,由AD為∠BAC的角平分線時,得到∠BAD=∠CAD,通過△AED≌△ACD得到∠AED=∠C,ED=CD,由已知得到∠B=∠EDB,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到EB=ED,即可得解.

          解答 解:(1)探究:AB=AC+CD.
          證明:如圖2,在AB上截取AE=AC,連接ED,
          ∵AD為∠BAC的角平分線時,
          ∴∠BAD=∠CAD,
          在△AED與△ACD中,
          $\left\{\begin{array}{l}{AE=AC}\\{∠EAD=∠CAD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$,
          ∴△AED≌△ACD(SAS),
          ∴∠AED=∠C,ED=CD,
          ∵∠ACB=2∠B,
          ∴∠AED=2∠B,
          ∵∠AED=∠B+∠EDB,
          ∴∠B=∠EDB,
          ∴EB=ED,
          ∴EB=CD,
          ∴AB=AE+EB=AC+CD;

          (2)拓展:AB+AC=CD.
          理由:如圖3,在BA的延長線上截取AE=AC,連接ED.
          ∵AD平分∠FAC,
          ∴∠EAD=∠CAD,
          在△AED與△ACD中,
          $\left\{\begin{array}{l}{AE=AC}\\{∠EAD=∠CAD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$,
          ∴△AED≌△ACD(SAS),
          ∴ED=CD,∠AED=∠ACD,
          ∴∠FED=∠ACB,
          又∵∠ACB=2∠B,
          ∴∠FED=2∠B,
          又∵∠FED=∠B+∠EDB,
          ∴∠EDB=∠B,
          ∴EB=ED,
          ∴EA+AB=EB=ED=CD,
          ∴AC+AB=CD.

          點評 本題屬于三角形綜合題,主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì),角平分線的性質(zhì),等腰直角三角形的判定和性質(zhì)的綜合應(yīng)用,正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形并運用全等三角形的對應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵.

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