Question

1．閱讀發(fā)現(xiàn)：如圖①，在△ABC中，∠ACB=2∠B，∠ACB=90°，AD為∠BAC的平分線(xiàn)，且交BC于D，我們發(fā)現(xiàn)在AB上截取AE=AC，連結(jié)DE，可得AB=AC+CD（不需證明）．
探究：如圖②，當(dāng)∠ACB≠90°時(shí)，其他條件不變，線(xiàn)段AB、AC、CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，寫(xiě)出結(jié)果，并證明；
拓展：如圖③，當(dāng)∠ACB=2∠B，∠ACB≠90°時(shí)，AD為△ABC的外角∠CAF的平分線(xiàn)，且交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，則線(xiàn)段AB、AC、CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫(xiě)出你的猜想，不需證明．

Answer 1

分析 （1）探究：在AB上截取AE=AC，連接ED，由AD為∠BAC的角平分線(xiàn)時(shí)，得到∠BAD=∠CAD，通過(guò)△AED≌△ACD得到∠AED=∠C，ED=CD，由已知得到∠B=∠EDB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到EB=ED，即可得解；
（2）拓展：在BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上截取AE=AC，連接ED，由AD為∠BAC的角平分線(xiàn)時(shí)，得到∠BAD=∠CAD，通過(guò)△AED≌△ACD得到∠AED=∠C，ED=CD，由已知得到∠B=∠EDB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到EB=ED，即可得解．

解答 解：（1）探究：AB=AC+CD．
證明：如圖2，在AB上截取AE=AC，連接ED，
∵AD為∠BAC的角平分線(xiàn)時(shí)，
∴∠BAD=∠CAD，
在△AED與△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AC}\\{∠EAD=∠CAD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△ACD（SAS），
∴∠AED=∠C，ED=CD，
∵∠ACB=2∠B，
∴∠AED=2∠B，
∵∠AED=∠B+∠EDB，
∴∠B=∠EDB，
∴EB=ED，
∴EB=CD，
∴AB=AE+EB=AC+CD；

（2）拓展：AB+AC=CD．
理由：如圖3，在BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上截取AE=AC，連接ED．
∵AD平分∠FAC，
∴∠EAD=∠CAD，
在△AED與△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AC}\\{∠EAD=∠CAD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△ACD（SAS），
∴ED=CD，∠AED=∠ACD，
∴∠FED=∠ACB，
又∵∠ACB=2∠B，
∴∠FED=2∠B，
又∵∠FED=∠B+∠EDB，
∴∠EDB=∠B，
∴EB=ED，
∴EA+AB=EB=ED=CD，
∴AC+AB=CD．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線(xiàn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，正確作出輔助線(xiàn)構(gòu)造全等三角形并運(yùn)用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵．