Question

18．一個(gè)邊長(zhǎng)為4cm的等邊三角形ABC與⊙O等高，如圖放置，⊙O與BC相切于點(diǎn)C，⊙O與AC相交于點(diǎn)E．
（1）求CE的長(zhǎng)；
（2）將⊙O在射線CB上向左滾動(dòng)，當(dāng)⊙O與AB相切時(shí)，則圓心O經(jīng)過(guò)的距離是多少（直接寫(xiě)出結(jié)論）．

Answer 1

分析 （1）連接OC，并過(guò)點(diǎn)O作OF⊥CE于F，求出等邊三角形的高即可得出圓的直徑，繼而得出OC的長(zhǎng)度，在Rt△OFC中，可得出FC的長(zhǎng)，利用垂徑定理即可得出CE的長(zhǎng)；
（2）設(shè)⊙O與AB相切于E，與BC相切于F，由平移的性質(zhì)得到CF的長(zhǎng)度即為圓心O經(jīng)過(guò)的距離，由于∠OFC=90°，∠C=30°，于是得到CF=$\frac{1}{2}OC$，推出△AOE≌△COF，得到AO=OC=$\frac{1}{2}$AC=2，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，連接OC，并過(guò)點(diǎn)O作OF⊥CE于F，
∵△ABC為等邊三角形，邊長(zhǎng)為4cm，
∴△ABC的高為2$\sqrt{3}$cm，
∴OC=$\sqrt{3}$cm，
又∵∠ACB=60°，
∴∠OCF=30°，
在Rt△OFC中，可得FC=$\frac{3}{2}$cm，
即CE=2FC=3cm；

（2）如圖2，設(shè)⊙O與AB相切于E，與BC相切于F，
∴CF的長(zhǎng)度即為圓心O經(jīng)過(guò)的距離，
∵∠OFC=90°，∠C=30°，
∴CF=$\frac{1}{2}OC$，
在△AOE與△COF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠C=60°}\\{∠AEO=∠CFO=90°}\\{OE=OF}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF，
∴AO=OC=$\frac{1}{2}$AC=2，
∴CF=1cm，
∴圓心O經(jīng)過(guò)的距離是1cm．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了切線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和解直角三角形的有關(guān)知識(shí)，題目不是太難，屬于基礎(chǔ)性題目．