Question

已知三個質數(shù)m，n，p的乘積等于這三個質數(shù)的和的5倍，則m²+n²+p²=

 

．

Answer 1

分析：根據已知可得mnp=5（m+n+p），由于m，n，p是三個質數(shù)，可知m，n，p中一定有一個是5．不妨設m=5，代入mnp=5（m+n+p），可得（n-1）（p-1）=6，從而得到方程

n-1=1 p-1=6

或

n-1=2 p-1=3

，求得m，n，p的值，再代入求得m²+n²+p²的值．

解答：解：由已知，mnp=5（m+n+p），
由于m，n，p均為質數(shù)，5（m+n+p）中含有因數(shù)5，
∴m，n，p中一定有一個是5，
不妨設m=5．則5np=5（5+n+p），即np=5+n+p，
∴np-n-p+1=6即（n-1）（p-1）=6，
又n，p均為質數(shù)，
∴

n-1=1 p-1=6

或

n-1=2 p-1=3

，
解得

n=2 p=7

或

n=3 p=4

（不合題意舍去）
∴m=5，n=2，p=7，
∴m²+n²+p²=25+4+49=78．

點評：本題考查了質數(shù)的乘積問題，解題的關鍵是確定三個質數(shù)中有一個是5，代入后通過分解質因數(shù)，得到方程組．