Question

給出下列命題：
命題1：直線y=x與雙曲線y=

1

x

有一個交點是（1，1）；
命題2：直線y=8x與雙曲線y=

2

x

有一個交點是（

1

2

，4）；
命題3：直線y=27x與雙曲線y=

3

x

有一個交點是（

1

3

，9）；
命題4：直線y=64x與雙曲線y=

4

x

有一個交點是（

1

4

，16）；
…
（1）請你閱讀、觀察上面命題，猜想出命題n（n為正整數(shù)）；
（2）請驗證你猜想的命題n是真命題．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意給的數(shù)據(jù)可得到命題n：直線y=n³x與雙曲線y=

n

x

有一個交點是（

1

n

，n²）；
（2）把（

1

n

，n²）分別代入直線y=n³x和雙曲線y=

n

x

中，即可判斷命題n是真命題．

解答：解：（1）命題n：直線y=n³x與雙曲線y=

n

x

有一個交點是（

1

n

，n²）；

（2）驗證如下：
將（

1

n

，n²）代入直線y=n³x得：右邊=n3×

1

n

=n2，左邊=n²，
∴左邊=右邊，
∴點（

1

n

，n²）在直線y=n³x上，
同理可證：點（

1

n

，n²）在雙曲線y=

n

x

上，
∴直線y=n³x與雙曲線y=

n

x

有一個交點是（

1

n

，n²）．

點評：本題考查了點在圖象上，點的橫縱坐標(biāo)滿足圖象的解析式；也考查了探究規(guī)律的方法：從特殊到一般．