Question

14．已知∠AOD=α，射線OB、OC在∠AOD的內(nèi)部，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．
（1）如圖1，當(dāng)射線OB與OC重合時(shí)，求∠MON的大��；
（2）在（1）的條件下，若射線OC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度θ，如圖2，求∠MON的大小；
（3）在（2）的條件下，射線OC繞點(diǎn)O繼續(xù)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)到與射線OA的反向延長(zhǎng)線重合為止，在這一旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，∠MON=$\frac{1}{2}$（θ-α）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)角平分線的定義求出∠BOM和∠BON，然后根據(jù)∠MON=∠BOM+∠BON代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解；
（2）根據(jù)角平分線的定義求出∠COM和∠BON，然后根據(jù)∠MON=∠COM+∠BON-∠BOC代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解；
（3）根據(jù)角平分線的定義求出∠AOM=$\frac{1}{2}$∠AOC=90°，∠DON=$\frac{1}{2}$∠BOD，根據(jù)∠AOD-∠BOD+BOC=180°求得∠BOD=α+θ-180°，然后根據(jù)∠MON=90°-α+$\frac{1}{2}$∠BOD，代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解．

解答 解：（1）∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，
∴∠BOM=$\frac{1}{2}$∠AOB，∠BON=$\frac{1}{2}$∠BOD，
∴∠MON=∠COM+∠BON-∠BOC=$\frac{1}{2}$（∠AOC+∠BOD），
∵∠AOD=∠AOB+∠BOD=α，
∴∠MON=$\frac{1}{2}$α；
（2）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．
∴∠COM=$\frac{1}{2}$∠AOC，∠BON=$\frac{1}{2}$∠BOD，
∴∠MON=∠COM+∠BON-∠BOC=$\frac{1}{2}$（∠AOC+∠BOD）-∠BOC，
∵∠AOD=∠AOC+∠BOD-∠BOC=α，
∴∠AOC+∠BOD=α+θ，
∴∠MON=$\frac{1}{2}$（α+θ）-θ=$\frac{1}{2}$（α-θ）；
（3）如圖3，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．
∴∠AOM=$\frac{1}{2}$∠AOC=90°，∠DON=$\frac{1}{2}$∠BOD，
∴∠MON=90°-α+$\frac{1}{2}$∠BOD，
∵∠AOD-∠BOD+BOC=180°，
∴∠BOD=α+θ-180°，
∴∠MON=90°-α+$\frac{1}{2}$∠BOD=90°-α+$\frac{1}{2}$（α+θ-180°）=$\frac{1}{2}$（θ-α）．
故答案為$\frac{1}{2}$（θ-α）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了角的計(jì)算，角平分線的定義，準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于要注意整體思想的利用．