Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，以AD為直徑作⊙O，分別與AB，AC交于點(diǎn)E，F，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BC于G．

（1）求證：EG是⊙O的切線；

（2）若AF=6，⊙O的半徑為5，求BE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）8

【解析】

（1）先判斷出EF是⊙O的直徑，進(jìn)而判斷出OE∥BC，即可得出結(jié)論；

（2）先根據(jù)勾股定理求出AE，再判斷出BE=AE，即可得出結(jié)論．

（1）證明：如圖，連接EF，

∵∠BAC=90°，

∴EF是⊙O的直徑，

∴OA=OE，

∴∠BAD=∠AEO，

∵點(diǎn)D是Rt△ABC的斜邊BC的中點(diǎn)，

∴AD=BD，

∴∠B=∠BAD，

∴∠AEO=∠B，

∴OE∥BC，

∵EG⊥BC，

∴OE⊥EG，

∵點(diǎn)E在⊙O上，

∴EG是⊙O的切線；

（2）∵⊙O的半徑為5，

∴EF=2OE=10，

在Rt△AEF中，AF=6，

根據(jù)勾股定理得， ，

由（1）知OE∥BC，

∵OA=OD，

∴BE=AE=8．