Question

【題目】如圖，和都是等腰三角形，其中，，且．

（1）如圖①，連接、，求證：；

（2）如圖②，連接、，若，，，，求的長；

（3）如圖③，若，且點(diǎn)恰好落在上，試探究、和之間的數(shù)量關(guān)系，并加以說明．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）5；（3）＋=，理由見解析

【解析】

（1）根據(jù)等式的基本性質(zhì)可得∠BAE=∠CAD，然后利用SAS即可證出△BAE≌△CAD，從而證出結(jié)論；

（2）根據(jù)等式的基本性質(zhì)可得∠BAE=∠CAD，然后利用SAS即可證出△BAE≌△CAD，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，∠BEA=∠CDA，證出△ADE為等邊三角形，根據(jù)三線合一即可證出∠BED=90°，根據(jù)勾股定理即可求出BD；

（3）根據(jù)等式的基本性質(zhì)可得∠BAE=∠CAD，然后利用SAS即可證出△BAE≌△CAD，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，∠BEA=∠D，證出△ADE為等腰直角三角形即可求出∠BEC=90°，根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論．

解：（1）∵

∴∠BAC＋∠CAE=∠DAE＋∠CAE

∴∠BAE=∠CAD

在△BAE和△CAD中

∴△BAE≌△CAD

∴

（2）∵

∴∠BAC＋∠CAE=∠DAE＋∠CAE

∴∠BAE=∠CAD

在△BAE和△CAD中

∴△BAE≌△CAD

∴，∠BEA=∠CDA

∵∠DAE=60°，AE=AD

∴△ADE為等邊三角形

∴∠ADE=∠AED=60°，DE=AD=3

∵

∴∠CDA=∠CDE=

∴∠BEA=30°

∴∠BED=∠BEA＋∠AED=90°，

在Rt△BED中，BD=

（3）＋=，理由如下

連接，

∵=90°

∴∠BAC－∠CAE=∠DAE－∠CAE

∴∠BAE=∠CAD

在△BAE和△CAD中

∴△BAE≌△CAD

∴，∠BEA=∠D

∵∠DAE=90°，AE=AD

∴△ADE為等腰直角三角形

∴∠D=∠AED=45°，

∴∠BEA=45°

∴∠BEC=∠BEA＋∠AED=90°

∴在Rt△BEC中，＋=

∴＋=