Question

【題目】如圖（1），在矩形中，把、分別翻折，使點、分別落在對角線上的點、處，折痕分別為、．

　　　　

（1）求證：．

（2）請連接、，證明四邊形是平行四邊形

（3）、是矩形的邊、上的兩點，連結(jié)、、，如圖（2）所示，若，．且，，求的長度．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）PC=2

【解析】

(1)根據(jù)折疊的性質(zhì)得出∠DAN=∠NAC，∠BCM=∠ACM，從而根據(jù)AD∥BC可得出∠DAN=∠BCM，從而即可判斷出△ADN≌△CBM；
(2)連接NE、MF，根據(jù)(1)的結(jié)論可得出NF=ME，再由∠NFE=∠MEF可判斷出NF∥ME，即可得到結(jié)論；
(3)設(shè)AC與MN的交點為O，EF=x，作QG⊥PC于G點，首先求出AC=5，根據(jù)翻折變換知：AF=CE=3，于是可得AF+(CE-EF)=5，可得EF=1，在Rt△NFE中，NO2=NF2+OF2，求出NO的長，即NM=PQ=QC=2NO，PC=2 .

（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=BC，∠B=∠D=90°，
由折疊的性質(zhì)得出∠DAN=∠NAC，∠BCM=∠ACM，
∵AD//BC，
∴∠DAC=∠BCA，

∴∠DAN=∠BCM，
在Rt△AND和Rt△CMB中， ，
∴△AND≌△CMB(AAS)
（2）由（1）得：△AND≌△CMB，

∴NF=ME，
∵∠NFE=∠MEF，.

∴NF∥ME，
∴四邊形MFNE是平行四邊形；

（3）設(shè)AC與MN的交點為O，EF=x，作QG⊥PC于G，如圖所示：

∵AB=4，BC=3，

∴AC=5，

∵AF=CE=BC=3，

∴2AF-EF=AC，即6-x=5，

解得x=1，

∴EF=1，

∴CF=2，

由折疊的性質(zhì)得：NF=DN=,

∵OE=OF=EF=,
∴在Rt△NFO中，ON2=OF2+NF2，
∴ON=，

∴MN=2ON=，

∵PQ∥MN，PN∥MQ，
∴四邊形MQPN是平行四邊形，

∴MN=PQ=，

∵PQ=CQ，
∴△PQC是等腰三角形，
∴PG=CG，
在Rt△QPG中，PG2=PQ2-QG2，

∴PG==1，

∴PC=2PG=2.