Question

1．如圖，在△ABC中，AB=AC，點D、E是邊BC上的兩個點，且BD=DE=EC，過點C作CF∥AB交AE延長線于點F，連接FD并延長與AB交于點G；
（1）求證：AC=2CF；
（2）連接AD，如果∠ADG=∠B，求證：CD²=AC•CF．

Answer 1

分析 （1）由BD=DE=EC知BE=2CE，由CF∥AB證△ABE∽△FCE得$\frac{AB}{FC}=\frac{BE}{CE}$=2，即AB=2FC，根據(jù)AB=AC即可得證；
（2）由∠1=∠B證△DAG∽△BAD得∠AGD=∠ADB，即∠B+∠2=∠5+∠6，結(jié)合∠B=∠5、∠2=∠3得∠3=∠6，再由CF∥AB得∠4=∠B，繼而知∠4=∠5，即可證△ACD∽△DCF得CD²=AC•CF．

解答 證明：（1）∵BD=DE=EC，
∴BE=2CE，
∵CF∥AB，
∴△ABE∽△FCE，
∴$\frac{AB}{FC}=\frac{BE}{CE}$=2，即AB=2FC，
又∵AB=AC，
∴AC=2CF；

（2）如圖，

∵∠1=∠B，∠DAG=∠BAD，
∴△DAG∽△BAD，
∴∠AGD=∠ADB，
∴∠B+∠2=∠5+∠6，
又∵AB=AC，∠2=∠3，
∴∠B=∠5，
∴∠3=∠6，
∵CF∥AB，
∴∠4=∠B，
∴∠4=∠5，
則△ACD∽△DCF，
∴$\frac{CD}{CF}=\frac{AC}{DC}$，即CD²=AC•CF．

點評 本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握三角形外角性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得出三角形相似所需要的條件是解題的關(guān)鍵．