Question

某數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展了一次活動(dòng)，過(guò)程如下：
設(shè)∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）．現(xiàn)把小棒依次擺放在兩射線(xiàn)之間，并使小棒兩端分別落在射線(xiàn)AB，AC上．
活動(dòng)一：
如圖甲所示，從點(diǎn)A₁開(kāi)始，依次向右擺放小棒，使小棒與小棒在端點(diǎn)處互相垂直，A₁A₂為第1根小棒．
數(shù)學(xué)思考：
（1）小棒能無(wú)限擺下去嗎？答：

 

．（填“能”或“不能”）
（2）設(shè)AA₁=A₁A₂=A₂A₃=1．
①θ=

 

度；
②若記小棒A_2n-1A_2n的長(zhǎng)度為a_n（n為正整數(shù)，如A₁A₂=a₁，A₃A₄=a₂，…） 求出此時(shí)a₂，a₃的值，并直接寫(xiě)出a_n（用含n的式子表示）．


活動(dòng)二：
如圖乙所示，從點(diǎn)A₁開(kāi)始，用等長(zhǎng)的小棒依次向右擺放，其中A₁A₂為第1根小棒，且A₁A₂₌AA₁．
數(shù)學(xué)思考：
（3）若已經(jīng)擺放了3根小棒，θ₁=

 

，θ₂=

 

，θ₃=

 

；（用含θ的式子表示）
（4）若只能擺放4根小棒，求θ的范圍．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)榻堑膬蓷l邊為兩條射線(xiàn)，沒(méi)有長(zhǎng)度，所以小棒可以無(wú)限擺放下去；
（2）①根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，即可推出，②結(jié)合已知條件，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，即可得出A₁A₃=

2

，AA₃=1+

2

，由A₁A₂∥A₃A₄∥A₅A₆，可以推出∠A=∠AA₂A₁=∠AA₄A₃=∠AA₆A₅，得AA₃=A₃A₄，AA₅=A₅A₆，即可推出a₂、a₃的長(zhǎng)度，然后推出a_n的關(guān)于你的表達(dá)式；
（3）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)即可推出θ₁=∠A₂A₁A₃=2θ，即可推出θ₂，同理即可推出θ₂，θ₃；
（4）根據(jù)（3）的結(jié)論，和三角形外角的性質(zhì)，即可推出不等式，解不等式即可．

解答：解：（1）能．
因?yàn)榻堑膬蓷l邊為兩條射線(xiàn)，沒(méi)有長(zhǎng)度，所以小棒可以無(wú)限擺放下去；

（2）①∵AA₁=A₁A₂=A₂A₃=1，A₁A₂⊥A₂A₃
∴θ₂=45°，
θ=22.5°．
故答案為22.5；

②∵AA₁=A₁A₂=A₂A₃=1，A₁A₂⊥A₂A₃，
∴A₁A₃=

2

，AA₃=1+

2

．
又∵A₂A₃⊥A₃A₄，
∴A₁A₂∥A₃A₄．
同理：A₃A₄∥A₅A₆，
∴∠A=∠AA₂A₁=∠AA₄A₃=∠AA₆A₅，
∴AA₃=A₃A₄，AA₅=A₅A₆
∴a₂=A₃A₄=AA₃=1+

2

，
a₃=AA₃+A₃A₅=a₂+A₃A₅．
∵A₃A₅=

2

a₂，
∴a₃=A₅A₆=AA₅=a2+

2

a2=(

2

+1)2．
∴an=(

2

+1)n-1；

（3）∵A₁A₂₌AA₁
∴θ₁=∠A₂A₁A₃=2θ，
∴θ₂=∠A₂A₄A₃=θ+2θ=3θ，
∴θ₃=∠A₂A₄A₃+θ=4θ，
故答案為θ₁=2θ，θ₂=3θ，θ₃=4θ；

（4）由題意得：

5θ≥90° 4θ＜90°

，
∴18°≤θ＜22.5°．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、解一元一次不等式、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵在于找到等量關(guān)系，求相關(guān)角的度數(shù)等．