Question

某數(shù)學興趣小組開展了一次活動，過程如下：
設∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）．現(xiàn)把小棒依次擺放在兩射線AB，AC之間，并使小棒兩端分別落在兩射線上．活動一：如圖所示，從點A₁開始，依次向右擺放小棒，使小棒與小棒在兩端點處互相垂直，A₁A₂為第1根小棒．
數(shù)學思考：
（1）小棒能無限擺下去嗎？答：

能

．（填“能”或“不能”）
（2）設AA₁=A₁A₂=A₂A₃=1．①θ=

22.5

度； ②若記小棒A_2n-1A_2n的長度為a_n（n為正整數(shù)，如A₁A₂=a₁，A₃A₄=a₂，），求此時a₂，a₃的值，并直接寫出a_n（用含n的式子表示）．

Answer 1

分析：（1）本題需先根據(jù)已知條件∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）小棒兩端分別落在兩射線上，從而判斷出能繼續(xù)擺下去．
（2）①本題需先根據(jù)已知條件AA₁=A₁A₂=A₂A₃=1，A₁A₂⊥A₂A₃，得出A₂A₃和AA₃的值，判斷出A₁A₂∥A₃A₄、A₃A₄∥A₅A₆，即可求出∠A=∠AA₂A₁=∠AA₄A₃=∠AA₆A，②從而此時a₂，a₃的值和出a_n．

解答：解：（1）∵根據(jù)已知條件∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）小棒兩端能分別落在兩射線上，
∴小棒能繼續(xù)擺下去，
故答案為：能；
（2）①∵A₁A₂=A₂A₃，A₁A₂⊥A₂A₃，
∴∠A₂A₁A₃=45°，
∴∠AA₂A₁+∠θ=45°，
∵∠AA₂A₁=∠θ，
∴∠θ=22.5，
故答案為22.5°；
②∵AA₁=A₁A₂=A₂A₃=1，A₁A₂⊥A₂A₃
∴A₂A₃=1，AA₃=1+

2

，
又∵A₂A₃⊥A₃A₄
A₁A₂∥A₃A₄
同理；A₃A₄∥A₅A₆
∴∠A=∠AA₂A₁=∠AA₄A₃=∠AA₆A₅
∴AA₃=A₃A₄，AA₅=A₅A₆
∴a₂=A₃A₄=AA₃=1+

2

，
a₃=AA₃+A₃A₅=a₂+A₃A₅
∵A₃A₅=

2

a₂，
∴a₃=A₅A₆=AA₅=a₂+

2

a2=（

2

+1）a₂，
∴a_n=（

2

+1）^n-1．

點評：本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，在解題時要注意根據(jù)題意找出規(guī)律并與相似三角形的性質(zhì)相結(jié)合是本題的關鍵．