Question

8．已知拋物線y=$\frac{1}{2}$x²-（m-3）x+$\frac{5-4m}{2}$．
（1）求證：無論m為任何實數，拋物線與x軸總有兩個交點；
（2）若拋物線對稱軸x=-1，且反比例函數y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）的圖象與拋物線在第一象限內的交點的橫坐標為x₀，且滿足2＜x₀＜3，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令y=0，則$\frac{1}{2}$x²-（m-3）x+$\frac{5-4m}{2}$=0，由判別式得出△=（m-1）²+3，不論m為任何實數，都有（m-1）²+3＞0，即△＞0，即可得出結論．
（2）由拋物線對稱軸x=-1，得出m=2，拋物線的解析式為y=$\frac{1}{2}$x²+x-$\frac{3}{2}$；當2＜x＜3時，對于y=$\frac{1}{2}$x²+x-$\frac{3}{2}$，y隨著x的增大而增大，對于y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0），y隨著x的增大而減�。�分別求出當x₀=2時和當x₀=3時，k的取值范圍，即可得出結果．

解答 （1）證明：令y=0，則$\frac{1}{2}$x²-（m-3）x+$\frac{5-4m}{2}$=0，∴△=[-（m-3）]²-4×$\frac{1}{2}$×$\frac{5-4m}{2}$=m²-2m+4=（m-1）²+3，
∴不論m為任何實數，都有（m-1）²+3＞0，即△＞0．
∴不論m為任何實數，拋物線與x軸總有兩個交點．
（2）解：∵拋物線y=$\frac{1}{2}$x²-（m-3）x+$\frac{5-4m}{2}$的對稱軸為x=-$\frac{-（m-3）}{2×\frac{1}{2}}$=m-3，
又∵拋物線對稱軸x=-1，∴m-3=-1，解得：m=2，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{2}$x²+x-$\frac{3}{2}$；
當2＜x＜3時，
對于y=$\frac{1}{2}$x²+x-$\frac{3}{2}$，y隨著x的增大而增大，
對于y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0），y隨著x的增大而減�。�
所以當x₀=2時，由反比例函數圖象在二次函數圖象上方，得：$\frac{k}{2}$＞$\frac{1}{2}$×2²+2-$\frac{3}{2}$，解得：k＞5．
當x₀=3時，由二次函數圖象在反比例函數圖象上方，得：$\frac{1}{2}$×3²+3-$\frac{3}{2}$＞$\frac{k}{3}$，
解得：k＜18．
所以k的取值范圍為5＜k＜18．

點評 本題考查了拋物線解析式的求法、判別式的應用、二次函數的性質、不等式的解法等知識；本題綜合性強，有一定難度，特別是（2）中，需要運用二次函數的性質和解不等式才能得出結果．