Question

11．已知∠MAN=135°，正方形ABCD繞點A旋轉(zhuǎn)．

（1）當正方形ABCD旋轉(zhuǎn)到∠MAN的外部（頂點A除外）時，AM、AN分別與正方形ABCD的邊CB、CD的延長線交于點M、N，連接MN．
①如圖1，若BM=DN，則線段MN與BM+DN之間的數(shù)量關系是MN=BM+DN
②如圖2，若BM≠DN，請判斷①中的數(shù)量關系關系是否仍成立？并說明理由．
（2）如圖3，當正方形ABCD旋轉(zhuǎn)到∠MAN的內(nèi)部（頂點A除外）時，AM、AN分別與直線BD交于點M、N，探究：以線段BM、MN、DN的長度為三邊長的三角形是何種三角形？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）①如圖1，先利用SAS證明△ADN≌△ABM，得出AN=AM，∠NAD=∠MAB，再計算出∠NAD=∠MAB=$\frac{1}{2}$（360°-135°-90°）=67.5°．作AE⊥MN于E，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出MN=2NE，∠NAE=$\frac{1}{2}$∠MAN=67.5°．再根據(jù)AAS證明△ADN≌△AEN，得出DN=EN，進而得到MN=BM+DN；
②如圖2，將△ABM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADE，易知N、D、E三點共線．由△ANM≌△ANP，得到MN=PN，進而得到MN=BM+DN；
（2）以線段BM、DN的長度為三邊長的三角形是直角三角形．將△ABM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADE，連接NE，由△AMN≌△AEN，推出MN=EN，只要證明△EDN是直角三角形，可得DN²+DE²=NE²，由此即可解決問題．

解答 解：（1）①如圖1，若BM=DN，則線段MN與BM+DN之間的數(shù)量關系是MN=BM+DN．理由如下：

在△ADN與△ABM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠ADN=∠ABM}\\{DN=BM}\end{array}\right.$，
∴△ADN≌△ABM（SAS），
∴AN=AM，∠NAD=∠MAB，
∵∠MAN=135°，∠BAD=90°，
∴∠NAD=∠MAB=$\frac{1}{2}$（360°-135°-90°）=67.5°，
作AE⊥MN于E，則MN=2NE，∠NAE=$\frac{1}{2}$∠MAN=67.5°．
在△ADN與△AEN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADN=∠AEN=90°}\\{∠NAD=∠NAE}\\{AN=AN}\end{array}\right.$，
∴△ADN≌△AEN（AAS），
∴DN=EN，
∵BM=DN，MN=2EN，
∴MN=BM+DN．
故答案為MN=BM+DN；

②如圖2，若BM≠DN，①中的數(shù)量關系仍成立．理由如下：
將△ABM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADE，易知N、D、E三點共線．

∵AM=AP，∠MAE=90°
∴∠EAN=360°-∠MAN-∠MAE=360°-135°-90°=135°，
∴∠MAN=∠NAE，
在△ANM與△ANP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AM=AE}\\{∠MAN=∠EAN}\\{AN=AN}\end{array}\right.$，
∴△ANM≌△ANE（SAS），
∴MN=EN，
∵EN=DE+DN=BM+DN，
∴MN=BM+DN；

（2）結(jié)論：以線段BM、DN的長度為三邊長的三角形是直角三角形．
理由：將△ABM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADE，連接NE，

∵∠MAE=90°，∠MAN=135°，
∴∠NAE=360°-∠MAN-∠MAE=135°
∴∠EAN=∠MAN，
∵AM=AE，AN=AN，
∴△AMN≌△AEN，
∴MN=EN，
∵∠ADE=∠ABM=∠BDA=45°，
∴∠BDE=∠BDA+∠ADE=90°
∴DN²+DE²=NE²，∵BM=DE，MN=EN，
∴DN²+BM²=MN²
∴以線段BM、MN、DN的長度為三邊長的三角形是直角三角形．

點評 本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的逆定理等知識，綜合性較強，有一定難度，學會利用旋轉(zhuǎn)的方法添加輔助線，構(gòu)造全等三角形，屬于中考壓軸題．